Кривые второго порядка

Определение. Кривыми второго порядка являются линии, уравнения которых есть уравнения второй степени с двумя неизвестными:

Причем, хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.

К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Для задания невырожденной кривой второго порядка (оси которой параллельны координатным осям) необходимо выполнение условий:

1) если то уравнение определяет окружность;

2) если то уравнение определяет эллипс;

3) если то уравнение определяет гиперболу;

4) если то уравнение определяет параболу.

Определение. Окружностью радиуса называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки , называемой центром (см. рис. 5).

Тогда, можем записать:

(12)

Уравнение (12) называется нормальным уравнением окружности.

Р и с. 5.

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , и большая, чем расстояние между фокусами (см. рис. 6).

b c2SgOq74IQ/w0LYu/v4ZCJmnOqOoclA4uVhG6oxSc7QTz2Oufld3LQ+gnv0HAAD//wMAUEsDBBQA BgAIAAAAIQCdb2Bi3AAAAAUBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI/BSgMxEIbvgu8QRvBmk5bS lHWzRQRF9KCtC17TzXQ3mEyWTdpdfXpTL3oZGP6fb74pN5N37IRDtIEUzGcCGFITjKVWQf3+cLMG FpMmo10gVPCFETbV5UWpCxNG2uJpl1qWIRQLraBLqS84j02HXsdZ6JFydgiD1ymvQ8vNoMcM944v hFhxry3lC53u8b7D5nN39AqWi4Nbvz2uXr6f6np8/lhaKV6tUtdX090tsIRT+ivDWT+rQ5Wd9uFI JjKnID+SfmfOpJBzYPszWErgVcn/21c/AAAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEB AAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9 If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAESm bfQWBgAAyCoAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAh AJ1vYGLcAAAABQEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAcAgAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAE APMAAAB5CQAAAAA= ">

Р и с. 6.

Обозначим фокусы и , а расстояние между ними

Расстояние называется большей осью эллипса, а малой осью.

Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат имеет вид:

(13)

где (14)

Определение. Отношение фокусного расстояния к длине большей оси называется эксцентриситетом эллипса и обозначается

(15)

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, разность расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная и меньшая, чем расстояние между фокусами (см. рис. 7).

Р и с. 7.

Обозначим фокусы и , а расстояние между ними.

Расстояние называется действительной осью гиперболы, а мнимой осью.

Прямые асимптоты гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат имеет вид:

(16)

где (17)

Определение. Отношение фокусного расстояния к длине действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается

(18)

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Определение. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через .

Канонические уравнения параболы с центром в начале координат:

1) Парабола симметрична относительно оси , фокус правее директрисы, ветви направлены вправо (см. рис 8).

(19)

Р и с. 8.

2) Парабола симметрична относительно оси фокус левее директрисы, ветви направлены влево (см.рис.9).

(20)

Р и с. 9.

3) Парабола симметрична относительно оси фокус выше директрисы, ветви направлены вверх (см.рис.10).

(21)

Р и с. 10.

4) Парабола симметрична относительно оси Oy, фокус ниже директрисы, ветви направлены вниз. (см.рис.11).

(22)

Р и с. 11.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: