Примеры решения типовых заданий.

1. Даны вершины треугольника Найти:

1.1 уравнение стороны треугольника;

1.2 уравнение высоты

1.3 уравнение медианы

Решение. 1.1 Уравнение стороны треугольника составим, воспользовавшись формулой (6):

откуда или .

1.2 С учетом условия перпендикулярности двух прямых и , формула (10):

Тогда уравнение высоты найдем по формуле (5): откуда или

1.3 Для того, чтобы найти координаты середины отрезка точки применим формулы (2):

Имеем: тогда

Уравнение медианы составим по формуле (6):

откуда или

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно к прямой

Решение. Так как прямая проходит через одну заданную точку, воспользуемся уравнением (5). Коэффициент в нем найдем из условия параллельности прямых (9):

3. Найти расстояние от точки до прямой если

Решение. Предварительно составим уравнение прямой как прямой, проходящей через две заданные точки, формула (6):

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле (11):

4. Определить взаимное расположение двух прямых

Решение. Находим: приведя оба уравнения к виду (4), видим, что следовательно, прямые перпендикулярны.

5. Найти угол между двумя прямыми .

Решение. Для того, чтобы определить угловые коэффициенты прямых I и II, приведем их уравнения к виду (4), выразив из обоих уравнений y:

Коэффициенты при и есть угловые коэффициенты прямых

.

Угол между двумя прямыми находится по формуле (8):

=

6. Определить вид кривой II порядка используя метод выделения полных квадратов.

Решение. Сгруппируем слагаемые, содержащие в одну скобку, а содержащие в другую: Дополним выражения в скобках до полных квадратов:

Получили уравнение окружности с центром в точке ) и радиусом

7. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок , где ,а -начало координат.

Решение. Для того, чтобы найти координаты центра кривой применим формулы (2) для нахождения координат середины отрезка:

Имеем: , тогда

Радиус окружности найдем по формуле (1):

Воспользуемся нормальным уравнением окружности (12):

.

8. Составить каноническое yравнение эллипса, у которого большая полуось а эксцентриситет = .

Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид (13). Найдем малую полуось , используя формулу (14): . Величину параметра определим по формуле (13): a= . Подставив значение с в формулу (14), получим: = =16. Тогда, каноническое уравнение эллипса примет вид:

9. Построить параболу, если задана ее директриса

Решение: Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид (19): а уравнение ее директрисы . Исходя из условия задания, , отсюда Каноническое уравнение кривой примет вид: . Строим параболу:

10. Вычислить эксцентриситет и определить фокусное расстояние гиперболы

Решение. Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду, разделив на 36 обе части равенства: . Видим, что действительная полуось а мнимая полуось .
Для гиперболы справедливо равенство (17): отсюда , Тогда, фокусное расстояние . Эксцентриситет гиперболы определим по формуле (18): .

Список использованной литературы.

1. А. Ф. Бермант, И.Г. Араманович. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов. — Изд. 13-е, стереотип. — СПб. [и др.]: «Лань», 2006.

2. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. Решение типичных и трудных задач: учеб. пос. — Изд. 2-е, стереотип. — СПб.: «Лань», 2006.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике – М.: Айрис – пресс, 2002 – ч.1-2.

4. В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике. — М.: Физматлит, 2005.

5. Данко П.Е., Попов А.Г. Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Оникс, 2009

6. Индивидуальные задания по высшей математике. А.П. Рябушко (и др.); -3-е издание.- Минск: высшая школа, 2007. 1 часть -304 с.

7. Высшая математика для экономистов. Под редакцией Кремера Н.Ш. – 2-е изд.-М.: ЮНИТИ, 2002, 3-е изд.-М.: ЮНИТИ, 2010.

8. И.И. Привалов. Аналитическая геометрия: учебник. — Изд. 36-е, стер. — СПб. [и др.]: «Лань», 2007.

9. Д.В. Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии: уч. пособие для втузов. — 17-изд., стереотип. — СПб.: «Профессия», 2003.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: