II. Выбор переменных

Связь с МКЭ, используемая в FlexPDE, нажимает нас в самом начале. FlexPDE использует непрерывное кусочно-многочленное представление всех модельных переменных. То есть в системе принимается, что в любом вычислительном узле каждая переменная имеет уникальное значение, и что эти узловые значения могут быть связаны в пространстве полиномиальными интерполяциями.

Приложение теоремы Остроградского о дивергенции и теоремы Стокса о роторе к уравнениям Максвелла приводит к следующим граничным правилам при материальных интерфейсах:

1) Касательный компонент E непрерывен; нормальный компонент D = (eE) непрерывен (в отсутствии поверхностных зарядов).

2) Касательный компонент H непрерывен (в отсутствии поверхностного тока); нормальный компонент B = (mH) непрерывен.

Эти правила в своей основе противоречат модельным предположениям FlexPDE. Это означает, что сами полевые компоненты не могут быть выбраны как модельные переменные, если не выполяется одно из следующих условий:

1) Не имеется никаких разрывов материальных свойств в области,

2) Разрывные компоненты поля отсутствуют в заданой конфигурации модели.

Например, если мы знаем для заданой конфигурации, что все электрические поля должны быть касательны к материальным интерфейсам, мы можем использовать E как модельную переменную. Если мы вместо этого знаем, что все электрические поля нормальны к материальным интерфейсам, мы можем использовать D как модельную переменную.

Анализ полей в терминах полевых компонентов включает большая часть обработок учебника, и мы не будем исследовать эту тему далее здесь. Мы вместо этого повернем наше внимание к более общему применению подхода моделирования. Однако, несмотря на, по-видимому, ограничительный характер этих запрещений, имеется большой класс проблем, которые могут быть проанализированы успешно FlexPDE в терминах полевых компонентов.

III. Потенциалы

Для любого дважды дифференцируемого вектора v, векторное тождество DIV (CURL (v)) = 0 выполняется. Это тождество вместе с уравнением (2) подразумевает, что мы можем определить векторный потенциал А (потенциал индукции магнитного поля) такой, что

(9) CURL (A) = B

Теорема Гельмгольца утверждает, что векторное поле может быть однозначно определено заданием только его GURL и DIV. Мы должны понимать поэтому, что в каждой точке наш вектор-потенциал не полностью определен. Произвольность DIV (A) часто используется, чтобы упростить уравнения. Во многих случаях, нет необходимости явно определять DIV (A), позволяя граничным условиям и artifacts вычислительной модели определить это по умолчанию.

Подстановка отношения (9) в уравнение (3) дает CURL (E + dt (A)) = 0. Другое векторное тождество заявляет, что CURL (Grad (f)) =0 для любого дважды дифференцируемого скаляра f. Это позволяет нам определить скалярную гармоническую функцию V такую, что

(10) E = -Grad (V) - dt (A).

В отсутствии вариации времени, V является электростатическим потенциалом. Приложение закона Фарадея к маленькому объему (pillbox) материальной среды показывает, что V должен быть непрерывен поперек материальных интерфейсов. Приложение теоремы Стокса дает, что касательный компонент A должен быть непрерывен поперек материальных интерфейсов. Все обычные определения DIV (A) также имеют свойство, что нормальный компонент A непрерывен поперек материальных интерфейсов. Поэтому формулировки проблемы в терминах V и А полностью выполняют предположения моделирования в FlexPDE.

Так как эти два определения (9 и (10) удовлетворяют уравнения (2) и (3), остаются только уравнениями Максвелла (1) и (4), которые в терминах А и V принимают вид:

(11) CURL (CURL (A) /m) + s dt (A) + e dtt (A) + s Grad (V) + e dt (Grad (V)) = 0

(12) DIV (e Grad (V)) + DIV (e dt (A)) + p = 0

В этом местe (это общепринято в литературе) применяют векторные тождества, чтобы преобразовать CURL (CURL (A) /m) в форму, содержащую DIV (A), так, чтобы полное определение А могло быть достигнуто. Фактически эти преобразования требуют, чтобы магнитная проницаемость m была непрерывена поперек материальных интерфейсов. Мы поэтому задерживаем эту операцию для обсуждения при рассмотрении соответствующих специализаций. Мы должны также указать, что в (11) использована замена (7) J = sE, которую позже можем отменить.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: