VI. Запись уравнений для FlexPDE

Мы писали наши уравнения в терминах векторных полей, но фактически FlexPDE не способен иметь дело непосредственно с векторными полями; мы должны вручную привести систему к составляющим уравнениям. В трехмерном пространстве уравнение (11) включает три составляющих уравнения, в то время как уравнение (12) скалярно. Так что мы имеем общее количество четырех уравнений и четырех неизвестных Ax, Ay, Az и V.

Уравнения (13) - (14) больше усложнены, так как каждый компонент имеет реальную и мнимую части, так что общее количество - восемь компонентов. Каждая из этих восьми скалярных переменных должна быть представлена отдельным составляющим уравнением.

Мы все же не будем разворачивать уравнения в их заключительную форму, потому что в большинстве специализаций, адресованных впоследствии, заключительные формы не столь пугающие, как полные уравнения.

VII. Специализации

В большинстве проблем, представляющих интерес, полная общность уравнений (11) и (12) или их гармонических эквивалентов (13) и (14) не является необходимой. Анализ потребностей конкретной проблемы может обычно приводить к значительному упрощению. Мы рассмотрим здесь несколько случаев.

Электростатика

Для полей, которые являются постоянными во времени, уравнение (12) отделяется от уравнения (11), и электрический скалярный потенциал V может быть найден из единственного уравнения

(15) DIV (e Grad (V)) + p = 0

С тех пор как FlexPDE применяет теорему Остроградского о дивергенции по каждой вычислительной ячейке, включение коэффициента e внутрь дивергенции достаточно гарантировать правильное поведение полевых величин поперек материальных интерфейсов. Естественное граничное условие на V становится спецификацией производной по нормали (e Grad (V)). Системы этого вида рассмотрены в типовых проблемах xxx.pde, и т.д.

Магнитостатика

Для полей, которые являются постоянными во времени, уравнение (11) принимает вид

CURL (CURL (A) /m) + s Grad (V) = 0

Здесь член s Grad (V) фактически представляет плотность тока J, которую мы будем вероятно желать определить непосредственно как ток запуска (driving current) для полей:

(16) CURL (CURL (A) /m) + J = 0

В геометрической интерпретации A, для которого DIV (A) =0, имеет компоненты, параллельные компонентам J, так, если J ограничен единственной компонентой, то мы можем ограничиться только этой компонентой.

Как обсуждено в разделе IV, естественное граничное условие определяет касательный компонент H. NATURAL (A) =0 определяет плоскость симметрии, и VALUE (A) =0 определяет совершенный проводник.

Системы этого вида адресованы в типовых проблемах xxx.pde, и т.д.

3. Не-магнитные материалы (константа m)

В общем случае, когда m постояннo, мы можем выполнить некоторое упрощение уравнения (11). Мы можем применить векторное тождество

CURL (CURL (A)) = Grad (DIV (A)) - DIV (Grad (A)),

что дает

(17) (1/m) DIV (Grad (A))-s dt (A)-e dtt (A) = (1/m) Grad (DIV (A)) + s Grad (V) + e dt (Grad (V)).

Так как мы теперь имеем явное вхождение DIV (A), мы находимся в положении, чтобы определить ее, при этом всегда мы хотим генерировать форму, соответствующую нашим потребностям. Определение DIV (А) обычно известно как "Условие калибровки" (gauge). Выбор калибровки будет определен тем, что мы знаем относительно данной проблемы. Несколько обычных калибровочных условий и конечные формы (11) - (12) дается ниже.

Обратите внимание, что эта операция не без последствий. Определение естественного граничного условия изменилось. Это больше не граничное значение CURL (A) /m, а теперь граничное значение Grad (A) /m. NATURAL (A) =0 остается условием для плоскости симметрии, и VALUE (A) =0 все еще определяет границу совершенного проводника, но осторожность должна быть проявлена, если заданы другие значения. В случае DIV (A) =0, эти два граничных значения будeт эквивалентны, при других выборах калибровки, они могут таковыми не быть.

Также обратите внимание, что из-за типографских ограничений мы написали DIV (Grad (A)) для покомпонентного Лапласиана вектора A. Эта система обозначений не строго правильная в криволинейных координатах и более осторожное преобразование должно быть сделано в этих случаях.

Без того, чтобы делать дальнейшие предположения относительно e или s, мы можем применять кулоново калибровочное условие,

DIV (A) =0

С этим утверждением уравнение (17) принимает вид

(18) DIV (Grad (A)) - MS dt (A) - me dtt (A) = MS Grad (V) + me dt (Grad (V))

(19) DIV (e Grad (V)) + DIV (e dt (A)) + p = 0

Обратите внимание, что даже при том, что мы приняли DIV (A) =0, мы не свободны удалить DIV (e dt (A)) из уравнения (18), если e не есть константа. Кусочное постоянство e не достаточно, потому что Grad (e) неопределен на интерфейсе, и мы не имеем никакого способа применить теорему Остроградского о дивергенции, чтобы преобразовать это к поверхностному интегралу.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: