ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Тема 2. Элементы векторной алгебры
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Модуль вектора. Направляющие косинусы. [3, §5]. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты. Некоторые приложения скалярного произведения. [3, §6]. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения векторного произведения. [3, §7]. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через координаты. Некоторые приложения смешанного произведения. [3, §8]. Собственные векторы и собственные значения матриц. [4, гл. V, §4]. Пример 3. Дано: , , векторы и составляют стороны параллелограмма . Найти: 1) длины диагоналей параллелограмма ; 2) острый угол между диагоналями параллелограмма ; 3) площадь параллелограмма . Решение: Сделаем схематический чертеж:
1. Найдем длины диагоналей параллелограмма как длины векторов и . Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, то есть и . Имеем . 2. Острый угол между диагоналями параллелограмма найдем по формуле . Находим скалярное произведение векторов и : Значит, и . 3. Площадь параллелограмма найдем по формуле . По свойствам векторного произведения имеем Значит, Пример 4. Даны точки ; ; ; . Требуется: 1) записать векторы , , в ортонормированном базисе; 2) найти длины векторов , , ; 3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства; 4) найти острый угол между векторами и ; 5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ; 6) найти площадь треугольника ; 7) найти объем пирамиды . Решение: 1. Если , , то вектор . В данном случае имеем . Значит, , , . 2. Длина вектора может быть найдена по формуле . Имеем ; ; . 3. Покажем, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства. Для этого найдем определитель, составленный из координат этих векторов: Так как , то векторы , , образуют базис трехмерного пространства. 4. Острый угол между векторами и найдем по формуле . Скалярное произведение векторов и найдем, используя формулу: , где , . В данном случае . Тогда и . 5. Алгебраическую проекцию вектора на вектор найдем по формуле . Так как , то . 6. Площадь треугольника найдем по формуле . Векторное произведение векторов и можно найти по формуле . В данном случае Тогда , . Значит, . 7. Объем пирамиды найдем по формуле . Смешанное произведение векторов , и можно найти по формуле . Тогда . Значит, . Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы . Решение: Собственные значения матрицы находятся из уравнения , где – единичная матрица того же порядка, что и матрица . В данном случае , . Решением уравнения являются числа , . Это и есть собственные значения матрицы . Собственный вектор , соответствующий собственному значению , определяется из системы уравнений . Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению : или . Пусть , тогда . Значит, – собственный вектор, соответствующий собственному значению . Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению : или . Пусть , тогда . Значит, – собственный вектор, соответствующий собственному значению .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|