Перевод чисел из десятичной системы в произвольную

При переводе из десятичной системы в произвольную можно воспользоваться полиномом (2.4), но нужно пользоваться арифметикой той системы, из которой мы переводим число. А это затруднительно, т.к. мы, как правило, не знаем не только таблицы умножения в системах, отличных от десятичной, но и таблицу сложения и вычитания!

Целые числа и правильные дроби переводятся по разным правилам.

Перевод целых чисел

Пусть задано Х — целое число в системе P. Требуется найти цифры этого числа в системе счисления с основанием (10).

Алгоритм перевода целых чисел основан на делении целого числа на основание системы:

1. Исходное число X=A_m ×P^m +A _m-1×P^m-1 +...+A ₁×P¹+A₀ ×P ⁰ делим на основание Р:

X/P= A_m ×P^m-1 +A _m-1×P^m-2 +...+A ₁×P⁰+ A₀ /P.

2. Разделяем результат на целую и дробную части:

Целая [X/P]= A_m ×P^m-1 +A _m-1×P^m-2 +...+A ₁×P⁰.

Дробная {X/P}= A₀ /P.

Т.к. любая базовая цифра меньше основания системы, то A₀/P >=0.

3. Находим А₀:

А₀= {X/P}× P= остатку от деления.

4. Целую часть снова делим на основание и получаем A₁:

[X/P]/P= A_m ×P^m-2 +A _m-1×P^m-3 +...+A₀+A ₁×P^-1.

5. Повторяем п.4, пока целая часть не станет равной 0.

На каждой итерации остаток от деления представляет собой коэффициент полинома A_i.

6. Записываем остатки и последнее частное в порядке, ОБРАТНОМ их получению в НОВОЙ системе счисления.

Пример.

1. Перевести число 13 из десятичной системы в двоичную.

13/2= 6, остаток 1 ® A₀;

6/2= 3, остаток 0 ® A₁;

3/2= 1, остаток 1 ® A₂;

1/ 2=0, остаток 1 ® A₃.

Запишем результат:

13₍₁₀₎=1101₍₂₎.

2. Перевести число 13 из десятичной системы в восьмеричную.

13/8= 1, остаток 5 ® A₀;

1/8= 0, остаток 1 ® A₁.

Запишем результат:

13₍₁₀₎= 15₍₈₎.

3. Перевести число 13 из десятичной системы в шестнадцатеричную

13/16= 0, остаток 13 ® A₀.

Запишем результат:

13₍₁₀₎= 13₍₁₆₎.

Особый случай возникает, если между основаниями систем существует соотношение:

P= Qⁿ . (2.6)

В этом случае каждую базисную цифру системы Р можно представить n- разрядным числом в системе Q.

Для двоичной и восьмеричной системы справедливо:

2³ =8.

Каждой восьмеричной цифре соответствует двоичный код из 3-х цифр. Такой код называется ТРИАДОЙ. Запишем триады всех восьмеричных цифр:

0 – 000, 4 – 100,

1 – 001, 5 – 101,

2 – 010, 6 – 110,

3 – 011, 7 – 111.

Пример.

1. Перевести число 13 из восьмеричной системы в двоичную.

13₍₈₎= 001 011₍₂₎.

2. Перевести число 10100101100101 из двоичной системы в восьмеричную.

10 100 101 100 101₍₂₎= 24545₍₈₎.

3. Перевести число 13 шестнадцатеричной системы в двоичную.

13₍₁₆₎= 0001 0011₍₂₎.

4. Перевести число 10100101100101 из двоичной системы в шестнадцатеричную.

10 1001 0110 0101₍₂₎= 2965₍₁₆₎.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: