Закон Био - Савара - Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов различ­ной формы изучалось французскими уче­ными Ж. Био (1774-1862) и Ф. Саваром (1791- 1841). Результаты этих опытов бы­ли обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био - Савара - Лапласа для проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке A (рис. 1) индукцию поля dB, записывается в виде

(4)

где dl - вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r - радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r - модуль радиуса-векто­ра r.

Рис. 1

Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е, перпендикулярно плоскости, в ко­торой они лежат, и совпадает с каса­тельной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по пра­вилу нахождения линий магнитной индук­ции (правилу правого винта): направле­ние вращения головки винта дает направ­ление dB, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется вы­ражением

(5)

где a - угол между векторами dl и r.

Для магнитного поля, как и для элек­трического, справедлив принцип суперпо­зиции: магнитная индукция результирую­щего поля, создаваемого несколькими то­ками или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каж­дым током или движущимся зарядом в от­дельности:

(6)

Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в об­щем случае довольно сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био - Савара - Лапласа совместно с принци­пом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рас­смотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока - тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 2).

Рис. 2

В произвольной точке A, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одина­ковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве по­стоянной интегрирования выберем угол a, (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. 2 следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (5), получим, что маг­нитная индукция, создаваемая одним эле­ментом проводника, равна

. (7)

Так как угол a для всех элементов прямо­го тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (6) и (7),

.

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

. (8)

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис.3).

Рис.3

Как следу­ет из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления - вдоль нормали от витка. Поэтому сложе­ние векторов dB можно заменить сложени­ем их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиус-вектору (sin a=l) и расстояние всех эле­ментов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (5),

Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: