Нахождение оригинала по изображению

Существует три способа перехода от изображения к оригиналу.

Первый способ - с помощью обратного преобразования Лапласа. Переход от изображения к оригиналу выполняется с помощью так называемого интеграла Римана - Мелина, являющегося формулой обратного преобразования Лапласа:

.

Для того чтобы функция F(p) являлась изображением функции f(t), необходимо выполнение следующих условий: а) F(p) аналитична в полуплоскости Re p > ; б) стремится к нулю при |p| ® ¥; в) интеграл абсолютно сходится.

Практически чаще применяют теорему о вычетах, согласно которой оригиналом F(p) является функция

Таким образом,

.

(Интегрирование вдоль бесконечной прямой, параллельной мнимой оси и расположенной на расстоянии с > , заменяется интегрированием по замкнутому контуру, охватывающему все полюсы функции F(p). Полюсы F(p) есть значения p, при которых F(p) = ¥).

Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на которую уменьшается разделенный на 2pj контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот полюс.

Вычисления по последней формуле требуют применения методов теории вычетов, причем во многих случаях это оказывается весьма сложным. Поэтому большое значение имеют теоремы, позволяющие представить изображение в виде суммы более простых слагаемых и тем самым упростить переход от изображения к оригиналу.

Второй способ нахождения оригинала - использование теоремы разложения когда, изображение найдено в виде рациональной дроби:

, где и - полиномы относительно р

Предположим, что знаменатель имеет n простых корней , тогда общая формула теоремы разложения:

f(t) .

В случае комплексных корней получаются два сопряженных слагаемых, сумма которых равна удвоенному значению действительной части.

Третий способ определения оригинала заключается в использовании таблиц, где приводятся как изображения так и соответствующие им оригиналы. Существуют справочники, содержащие несколько сотен изображений и соответствующих им оригиналов. Следует только изображение привести к табличному виду. При использовании готовых таблиц следует выяснить, с помощью какого преобразования они составлены - Лапласа или Карсона. Если изображение дается по Карсону, то его следует поделить на р для получения изображения по Лапласу.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: