Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Закон Ома. Пусть имеем участок сложной цепи (рис. 1.51), замыкание ключа в которой приводит к переходному процессу.

Рис.1.51

Разность потенциалов между двумя узлами

Тогда

.

При ненулевых начальных условиях , найдем изображение напряжения между узлами по Лапласу:

RI(p), ,

, E(p),

.

Отсюда следует, что

,

где - операторное сопротивление участка цепи.

Уравнение для изображения тока аналогично закону Ома в операторной форме для участка цепи, содержащего ЭДС и ненулевых начальных условиях.

Слагаемое в числителе представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии магнитного поля в индуктивности к моменту коммутации. Слагаемое представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии электрического поля в конденсаторе к моменту коммутации. Заметим, что ЭДС направлена согласно с током, а - всегда навстречу току в ветви.

В соответствии с выражением для изображения тока можно построить схему замещения участка цепи (рис. 1.52).

Рис.1.52

Для участка цепи не содержащего источника ЭДС при нулевых начальных условиях запись закона Ома в операторной форме имеет более простой вид: I(p) = U(p) / Z(p).

Первый закон Кирхгофа. Используя свойство линейности преобразования Лапласа, в общем случае можно сразу записать выражение первого закона Кирхгофа

S I(p) = 0.

Второй закон Кирхгофа. Пусть имеем участок цепи (замкнутый контур на рис. 1.53). До коммутации i(0-) 0, 0.

Рис. 1.53

Выбрав направление обхода контура по часовой стрелке, запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

.

Заменив каждое из слагаемых изображением по Лапласу, получим

,

,

где , , ,

,

или в общем виде

.

Таким образом, уравнение второго закона Кирхгофа в операторной форме содержит внутренние источники ЭДС, характеризующие энергетическое состояние цепи к моменту коммутации.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: