Дифракционная решетка. Практический интерес представляет случай, когда в экране имеется большое число N одинаковых отверстий

Практический интерес представляет случай, когда в экране имеется большое число N одинаковых отверстий. При регулярном расположении отверстий, когда их ориентация и расстояние между ними одинаковы, разность фаз между волнами, дифрагировавшими от соседних отверстий, имеет определенное значение. Интерференция этих волн существенно влияет на дифракционную картину. Особый интерес представляет дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке.

Дифракционная решетка представляет собой плоскую стеклянную или металлическую поверхность, на которой нарезано очень много прямых равноотстоящих штрихов. Рассмотрим простейшую идеализированную решетку, состоящую из одинаковых равноотстоящих параллельных щелей, сделанных в непрозрачном экране. Ширину щели обозначим через b, ширину непрозрачной части между двумя соседними щелями – через a. Величина называется периодом решетки.

В решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифракционных пучков света, исходящих от щелей решетки при ее освещении. Дифракционная картина наблюдается по методу Фраунгофера, то есть либо на бесконечно удаленном экране, либо в фокальной плоскости линзы, поставленной на пути дифрагированного света.

Расположим параллельно решетке собирающую линзу, в фокальной плоскости которой поставим экран (рис. 3.25). Для простоты будем считать, что на решетку падает нормально плоская световая волна. Если колебания, приходящие в точку P от различных щелей, некогерентны, результирующая картина от N щелей будет отличаться от картины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возрастут в N раз. Картина от всех щелей придется на одно и то же место экрана (независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы).

Если колебания от различных щелей являются когерентными, то результирующая интенсивность будет отличаться от ( – интенсивность, создаваемая одной щелью в направлении угла ). Каждая из щелей решетки посылает свет по всем направлениям, кроме тех, которые удовлетворяют условию (3.11). Следовательно, условие минимума для одной щели является также условием минимума для всей решетки.

Как видно из рис. 3.25, результирующее колебание в точке P, положение которой определяется углом , представляет собой сумму N колебаний с одинаковой амплитудой, сдвинутых друг относительно друга по фазе на одну и ту же величину . Если , что соответствует разности хода от двух соседних щелей , то волны от всех щелей при интерференции дадут максимум интенсивности. Места, в которых наблюдается интенсивность, определяемая формулой , называются главными максимумами. Таким образом, условие, определяющее положение главных максимумов, имеет вид , или

, .

(3.14)

Число m дает порядок главного максимума. Поскольку амплитуда световых колебаний в главных максимумах пропорциональна числу щелей, то интенсивность в максимумах пропорциональна квадрату числа щелей, то есть

.

(3.15)

Равенство (3.14) является основной формулой дифракционной решетки. Оно справедливо для любого количества щелей. Из (3.15) следует, что главные максимумы имеют значительную интенсивность. Как видно из (3.14), их положение не зависит от общего числа щелей: в направлениях, удовлетворяющих условию (3.14), векторы напряженности от всех щелей складываются на экране в одинаковой фазе. Направление соответствует центральному максимуму нулевого порядка. Относительно него симметрично располагаются максимумы более высоких порядков.

Можно показать, что между двумя главными максимумами располагаются добавочных минимумов, положения которых зависят от количества щелей. При световые векторы от разных щелей и при интерференции гасят друг друга, если соответствующие лучи от обеих щелей имеют разность хода (рис. 3.26). При гашение произойдет, если фазы колебаний векторов отличаются на , то есть при разности хода Следовательно, для решетки с тремя щелями между соседними главными максимумами располагаются по два добавочных минимума. Для решетки с N щелями направления добавочных минимумов интенсивности определяются условием:

,

(3.16)

где , то есть принимает все целочисленные значения, кроме , то есть кроме тех, при которых условие (3.15) переходит в условие главного максимума (3.14).

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно . Наибольшей интенсивностью обладают вторичные максимумы, ближайшие к главным максимумам.

С увеличением числа щелей растет число добавочных минимумов, а главные максимумы становятся уже и ярче. При наблюдении картины, даваемой дифракционной решеткой, отчетливо видны только главные максимумы, разделенные практически темными промежутками, поскольку интенсивность вторичных максимумов очень мала, интенсивность самого сильного из них составляет не более 5 % от интенсивности ближайшего главного максимума.

График распределения интенсивности при дифракции на решетке с числом щелей и представлен на рис. 3.28.

Рис. 3.28

Кривая, проходящая через вершины главных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на . При выбранном отношении периода решетки к ширине щели главные максимумы 3-го, 6-го и так далее порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие чего эти максимумы пропадают. В общем случае из условий для минимумов при дифракции на одной щели (3.11) и главных максимумов (3.14) вытекает, что главный максимум m -го порядка придется на n -й минимум от одной щели, если будет выполнено равенство или . Это возможно, если отношение равно отношению двух целых чисел.

Количество наблюдающихся главных максимумов определяется отношением периода решетки к длине волны . Модуль не может превышать единицу. Поэтому из условия для главных максимумов (3.14) получаем .

Положение главных максимумов зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, красный – наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Причем дифракционная решетка сильнее всего отклоняет красные лучи. Зная постоянную решетки d и измерив на опыте угол дифракции , под которым находится максимум известного порядка m, можно из условия главного максимума определить длину волны . Таким образом, дифракционная решетка разлагает сложный свет в спектр, и, следовательно, представляет собой оптический прибор, предназначенный для анализа спектрального состава электромагнитного излучения.

На рис. 3.29 приведена схема устройства дифракционного спектроскопа. Коллиматор c щелью посылает на дифракционную решетку параллельный пучок света. Дифрагировавшие лучи света попадают в зрительную трубу , с помощью которой можно наблюдать различные участки дифракционного спектра. Меняя положение зрительной трубы, можно вывести в поле зрения различные участки спектра. По измеренному углу дифракции и известному периоду решетки можно с помощью формулы (3.14) рассчитать длины волн, соответствующие отдельным линиям спектра.

Рассмотрим основные характеристики дифракционной решетки как спектрального прибора: разрешающую способность и угловую дисперсию.

Разрешающая способность. Если в спектре присутствуют две линии, длины волн которых и незначительно отличаются, то возможность их раздельного восприятия определяется угловым расстоянием между максимумами интенсивности и их шириной. Ширина главного максимума зависит от полного числа щелей решетки. При малом N максимумы размыты, и, если они расположены близко друг к другу, сливаются. Результирующая интенсивность при этом может иметь разный вид, представленный на рис. 3.30. В случае а оба максимума воспринимаются как один. В случае б между максимумами лежит минимум.

Рис. 3.30

Два близких максимума воспринимаются глазом раздельно в том случае, если интенсивность в промежутке между ними составляет не более 80 % от интенсивности максимума. Согласно критерию, предложенному Рэлеем, такое соотношение интенсивностей имеет место в том случае, если середина одного максимума совпадает с краем другого. Такое взаимное расположение максимумов получается при определенном для данной решетки .

Положение середины m -го максимума для длины волны определяется условием: . Края m -го максимума для длины волны определяются условием (рис. 3.31).

Рис. 3.31

Середина максимума для длины волны совпадает с краем максимума для длины волны в том случае, если . Отсюда получим:

. (3.16)

Разрешающей способностью спектрального прибора называют безразмерную величину , где – минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно. Разрешающая способность дифракционной решетки из (3.16) определится как , то есть она пропорциональна числу щелей и порядку спектра.

Угловая дисперсия. Дисперсия определяет разделение спектральных линий, отличающихся по длине волны на единицу. Когда это разделение линий измеряют в угловых единицах, то говорят об угловой дисперсии.

Рис. 3.32

Угловая дисперсия , где – угол между направлениями распространения волн, отличающихся по длине волны на (рис. 3.32). Из условия для главного максимума (3.14) видно, что угловое расстояние между максимумами увеличивается с уменьшением постоянной решетки. Таким образом, угловая дисперсия дифракционной решетки тем больше, чем меньше период решетки и чем больший порядок спектра получается с ее помощью.

Рис. 3.33

На практике, как правило, работают со спектрами первого порядка, так как они наиболее яркие и не перекрываются со спектрами более высокого порядка. Поэтому целесооб-разно пользоваться решетками с малым периодом.

Отражательная дифракционная решетка. Посмотрите на обычный компакт-диск (рис. 3.33). Оказывается, он может работать и как оптический прибор – дифракционная решетка. Концентрические дорожки, на которых записаны данные, расположены друг к другу настолько близко, что на них происходит дифракция отраженного света. При этом лучи разных цветов дифрагируют по-разному, и на диске можно видеть спектр падающего света.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: