Статистическая сумма состояний ансамбля микрочастиц

Макроскопические объекты образованы из очень большого количества индивидуальных, порой различного типа, микрочастиц (например: в 1 см³ конденсированного вещества содержится порядка 10²³ атомов или молекул). Эти микрочастицы могут находиться в самых различных энергетических состояниях. Однако представляется вполне естественным, что в результате их взаимодействия между собой (порой весьма слабого) вероятности обнаружения этих индивидуальных энергетических состояний подчиняется определенным закономерностям – функциям распределения по энергетическим состояниям.

Для микрочастиц, обладающих целочисленными значениями спина (атомы и молекулы), эта функция распределения имеет вид (классическая статистика Максвелла - Больцмана):

,

(П.3.7)

где: - вероятность обнаружения микрочастицы в i^ом энергетическом состоянии; - энергия i^го состояния; А – постоянная величина, не зависящая от конкретного энергетического состояния.

Очевидно, что индивидуальные вероятности должны удовлетворять условию нормировки:

,

(П.3.8)

где суммирование производится по всем возможным энергетическим состояниям параметра i.

Из выражения (П.3.8) следует:

.

(П.3.9)

Стоящая в знаменателе выражения (П.3.9) сумма

(П.3.10)

называется статистической суммой, или суммой по состояниям.

Согласно выражениям (П.3.6) и (П.3.10) статистическую сумму Z можно разбить на произведение ряда множителей, каждый из которых соответствует одной степени свободы. Таким образом, статистическая сумма Z может быть представлена в виде:

.

(П.3.11)

Произведение всех сомножителей, ответственных за поступательное движение микрочастиц, называется поступательной статистической суммой ансамбля микрочастиц:

.

(П.3.12)

Аналогичным образом определяется вращательная статистическая сумма ансамбля микрочастиц:

,

(П.3.13)

где фрагмент характеризует степень вырождения системы (статистический вес уровня - W_j).

В свете использованного выше подхода колебательная статистическая сумма ансамбля микрочастиц определяется в виде [3]:

.

(П.3.14)

Статистическая сумма Z (установленная в виде выражения (П.3.10)) должна отражать характерные индивидуальные особенности различных микрочастиц. В этой связи ее роль в научно-практических аспектах чрезвычайно велика. Следует, однако, отметить, что определение аналитического вида статистической суммы для конкретных типов макросистем является далеко не тривиальной задачей. Именно это обстоятельство, зачастую, является сдерживающим фактором на пути широкого распространения рассматриваемой методологии в технологической практике.

С формальной точки зрения, микрочастица, входящая в состав макроскопической системы, может находиться в любом энергетическом состоянии, т.е. обладать практически любой энергией (общие постулаты физики не накладывают никаких ограничений такого свойства). Однако, фактически наблюдается несколько иная ситуация. Оказывается, что вероятность нахождения микрочастицы в энергетических состояниях с очень высокими значениями энергии столь мала, что ее практически можно принять равной нулю.

Примем, что макроскопическая система содержит в своем составе N микрочастиц определенного типа. В этом случае, количество микрочастиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией W_i, будет равно (учитывая выражение (П.3.7)):

.

(П.3.15)

Очевидно, что суммарная энергия всех микрочастиц, обладающих энергией W_i составит:

.

(П.3.16)

В свою очередь, полная энергия W системы, как сумма энергий всех микрочастиц N, входящих в состав макросистемы, будет равна:

.

(П.3.17)

Относительно выражения (П.3.17) можно отметить:

.

(П.3.18)

Учитывая выражения (П.3.17) и (П.3.18) имеем:

.

(П.3.19)

Выражение (П.3.19) можно представить в более привычной форме, если рассматривать его для одного моля вещества (N = N₀ – число Авогадро; N₀ ∙ k = R – универсальная газовая постоянная):

.

(П.3.20)

Рассмотренный выше подход, основанный на использовании спектра энергетических состояний микрочастиц, можно распространить и для случая, когда вместо отдельных микрочастиц рассматриваются локальные подсистемы атомных ансамблей (в том числе макроскопического плана), совокупность которых образует более крупную макроскопическую систему.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: