Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

По математике

Класс

Задания.

1. Какие цифры надо поставить вместо букв А и Б, чтобы получилось верное равенство: АБ · А · Б = БББ? (Здесь АБ – двузначное число, БББ – трёхзначное число).

2. В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?

3. Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 метров за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.

4. Как разрезать клетчатый квадрат размером 6 × 6клеточек на четыре одинаковых фигуры периметра 16 каждая, если резать можно только по сторонам клеточек? Сторона клеточки равна 1.

5. Можно ли выложить в ряд 30 шариков – белых, синих и красных – так, чтобы среди любых двух идущих подряд шариков был хотя бы один белый, среди любых трёх идущих подряд – хотя бы один синий, а среди любых пяти идущих подряд – хотя бы один красный? Ответ объясните.

Ответы, указания, решения.

(может быть предложено другое решение)

1. Ответ. А = 3, Б = 7.

Решение. АБ · А · Б = БББ = Б · 111. Значит АБ · А = 111.

Так как 111 = 37 · 3, тоА = 3, Б = 7.

2. Решение. При первом взвешивании на одну из чашек весов кладем гирю и все гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 13 и 12 кг гвоздей. Первую кучку откладываем, а остальные гвозди делим пополам, взвешивая без гири: 12 = 6 + 6. Получили искомое количество гвоздей: 19 = 13 + 6.

3. Ответ. s = 75 м, v = 15 м/с.

Решение. Обозначим за s (м) длину поезда, а за v (м/с) – скорость поезда. Тогда время прохождения поезда мимо светофора будет , то есть = 5. Так как с момента вхождения поезда на платформу до момента ухода с неё, последняя точка поезда проходит расстояние

s + 150 (м), то получим второе уравнение = 15. Решив систему данных уравнений, получаем, что s = 75 м, а v = 15 м/с.

4. Решение. Разрезать квадрат на 2 прямоугольника 6 × 3 клеточек. Затем первый прямоугольник разрезать следующим образом: в первом ряду разрезать 1 и 5 клеточек, во втором – 3 и 3 клеточки, в третьем – 5 и 1 клеточка. Получим 2 одинаковые фигуры с периметром равным 16. Аналогично разрезать второй прямоугольник. Получим 4 одинаковые фигуры.

5. Ответ. Нельзя.

Первое решение. Допустим, можно. Возьмём красный шарик, не лежащий с краю (такой найдётся хотя бы в пятёрке шариков со 2-го по 6-ой). Соседние с ним шарики должны быть белыми, иначе найдутся два соседних шарика, среди которых нет белых. Но это значит, что мы нашли три подряд идущих шарика, среди которых нет синего.

Второе решение. Разбив 30 шариков на 15 пар соседних шариков, убеждаемся, что среди выложенных шариков не меньше 15 белых. Разбив их на 10 троек подряд идущих шариков, убеждаемся, что среди выложенных шариков не меньше 10 синих. Наконец, разбив их же на 6 пятёрок подряд идущих шариков, видим, что среди выложенных шариков не меньше 6 красных. Получается, что шариков должно быть не меньше, чем 15 + 10 + 6 = 31, а их только 30.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: