Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников. 1. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011

По математике

Класс

Задания.

1. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. Как изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1?

2. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила его лошадь. Спрашивается, за какую сумму он её купил?

3. На маленьком острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Сколько жителей острова состоят в браке, если всего там проживает 1900 человек?

4. В конце каждого урока физкультуры учитель проводит забег и даёт победителю забега четыре конфеты, а всем остальным ученикам – по одной. К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля – 32, а Вася – 37 конфет. Известно, что один из них пропустил ровно один урок физкультуры, участвуя в олимпиаде по математике; остальные же уроков не пропускали. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ.

5. Угол между двумя высотами остроугольного треугольника ABC равен 60°, и точка пересечения высот делит одну из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Ответы, указания, решения.

(может быть предложено другое решение)

1. Ответ. Уменьшится на 2013.

Решение. Пусть изначально были числа x и y (с произведением xy). После того как первый множитель увеличили на 1, а второй уменьшили на 1, получилось (x + 1)(y - 1) = xy  + y – х - 1. Произведение увеличилось на 2011, то есть y – x - 1= 2011 или у - x = 2012. Если же первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1, получится

(x - 1)(y + 1) = xy  - y + х - 1. Заметим, что

xy  - y + х – 1 = xy  - (y – х) - 1 = xу – 2012 – 1 = xу - 2013. То есть произведение уменьшилось на 2013.

2. Ответ. Лошадь купили за 40 или 60 пистолей.

Решение. Пусть х пистолей стоила лошадь. Учитывая, что при продаже было потеряно х% составим уравнение: х - = 24. Решая его, получаем х = 40 или х = 60.

3. Ответ. 1200 человек.

Решение. Пусть х – количество мужчин, у - количество женщин на этом острове. Из условия задачи следует, х = у и х + у = 1900. Решая эту систему, получаем: х = 900, у = 1000. Значит количество женатых мужчин 600, а количество жителей состоящих в браке равно 1200.

4. Ответ. Вася.

Решение. После каждого забега разность количества конфет, полученных любыми двумя из присутствовавших на уроке школьников, делится на 3 (эта разность равна 0 или 3). Значит, и в конце четверти разность количеств конфет, полученных любыми двумя из посетивших все уроки физкультуры школьников, делится на 3. А из данных чисел 29, 32, 37 разность, делящуюся на 3, дают только числа 29 и 32. Значит, пропустил урок тот школьник, который заработал 37 конфет.

5. Решение. Пусть AD и СЕ – высоты треугольника ABC, О – точка их пересечения. Из того, что в прямоугольном треугольнике АОЕ угол АОЕ равен 60°, следует, что ОЕ = АО /2, т. е. ОЕ = OD. Значит, прямоугольные треугольники ОЕВ и ODB равны (ВО – общая гипотенуза). Тогда BE = BD, откуда следует, что ∆ ABD = ∆ СВЕ ( ABC – общий). Отсюда АВ = ВС. С другой стороны, ABC = 90° – BAD = AOE = 60°. Значит, треугольник ABC равносторонний.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: