Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников. 1. Натуральное число п умножили на сумму его цифр и получили 1000

По математике

Класс

Задания.

1. Натуральное число п умножили на сумму его цифр и получили 1000. Найдите все такие числа п.

2. При каких значениях параметра а уравнения 2х + а² – 4 = 0 и

2х² + (а² – 4) х + а = 0 будут иметь общий корень? Найдите этот корень.

3. Найдите произведение

(sin0º – cos0º)(sin1º – cos1º)…(sin89º – cos89º)(sin90º – cos90º).

4. В школьном туре по волейболу каждая команда встречается с каждой по одному разу. Перед началом турнира в нём решила принять участие ещё одна команда, в результате чего количество встреч, необходимых для проведения турнира, увеличилось на 20 %. Сколько команд участвовало в турнире?

5. На сторонах BC и BA треугольника ABC выбраны соответственно точки D и E так, что DE AC. Оказалось, что биссектрисы углов AED и EDC пересекаются в точке F, лежащей на стороне AC. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC, является центром окружности, описанной около треугольника EDF.

Ответы, указания, решения.

(может быть предложено другое решение)

1. Ответ. 125 и 1000.

Решение. Раскладывая 1000 в произведение двух множителей: 1000 × 1,

500 × 2, 250 × 4, 200 × 5, 125 × 8, 100 × 10, 50 × 20, 40 × 25 мы получаем два варианта ответа.

2. Ответ. а = 0, х = 2

Решение. Если х – корень уравнения 2х + а² – 4 = 0, то он также и корень уравнения х(2х + а² – 4) = 0, то есть 2х² + (а² – 4) х = 0. Кроме того, по условию, х – корень уравнения 2х² + (а² – 4) х + а = 0. значит х – корень уравнения (2х² + (а² – 4) х + а) – (2х² + (а² – 4) х) = 0, то есть а = 0. Осталось проверить, что при таких а оба уравнения имеют общий корень х = 2.

3. Ответ. 0.

Решение. Среди сомножителей есть разность sin45º – cos45º, равная 0, поэтому произведение равно 0.

4. Ответ. 12 команд после включения в турнир новой команды.

Решение. В турнире с участием п команд проводится игр (каждая из п команд сыграла п – 1 игру, и при этом каждая игра получилась сосчитанной дважды). Поэтому условие можно записать так: = 1,2 , откуда п = 11.

5. Решение. Из параллельности следует, что AFE = FED = AEF. Значит, треугольник AEF – равнобедренный: AE = AF. Значит, биссектриса угла EAF является медианой и высотой треугольника AEF, то есть серединным перпендикуляром к стороне EF. Аналогично, биссектриса угла DCF является серединным перпендикуляром к стороне DF.

Центр окружности, вписанной в треугольник ABC – это точка пересечения упомянутых биссектрис, а центр окружности, описанной около EDF – это точка пересечения упомянутых серединных перпендикуляров. Значит, эти точки совпадают.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: