Неприводимые представления группы трансляций

Для рассмотрения представлений группы трансляций воспользуемся циклическими граничными условиями, т.е. будем считать, что после трансляции на +1 периодов трансляция совпадёт с трансляцией , т.е.

.

Произвольный элемент группы трансляций можно записать в виде

.

Все трансляции коммутируют друг с другом и, следовательно, группа трансляций абелева.

Группу трансляций можно рассматривать как прямое произведение трёх циклических групп с элементами . Неприводимые представления циклической группы одномерны. Такие представления группы , имеющие порядок , определяются числами , где m - номер неприводимого представления, , а n - степень соответствующего элемента циклической группы. Следовательно, неприводимые представления группы трансляций с элементами имеют вид

.

Таким образом, каждое неприводимое представление группы определяется тройкой чисел , а число различных неприводимых представлений равно произведению . Определим тройку векторов соотношениями

.

Решение этой системы относительно неизвестных векторов b приводит к такому результату:

,

где везде в числителе стоит в квадратных скобках векторное произведение, а объём параллелепипеда, построенного на трёх базисных векторах a. Легко видеть, что размерность векторов b обратная по отношению к размерности векторов a, поэтому эти вектора называют векторами обратной решётки (по отношению к решетке, определяемой векторами a). С помощью обратных векторов введём новый вектор

,

С вектором неприводимые представления группы трансляций на вектор могут быть записаны в виде

.

Два вектора и в обратном пространстве различающиеся на вектор

,

где - целые положительные и отрицательные числа, включая ноль, называются эквивалентными и характеризуют одно и то же представление. Вектора называются векторами обратной решётки. В качестве области изменения вектора , удобно выбрать такую односвязную область, которая содержит в себе начало координат и для которой выполняются следующие условия:

а) эта область не содержит эквивалентных векторов;

б) для произвольного вектора обратной решётки в этой области найдётся эквивалентный вектор.

Эта область называется приведённой зоной Бриллюэна. Если вектор лежит на границе зоны Бриллюэна, то всегда существует, по крайней мере, один эквивалентный ему вектор , также лежащий на границе зоны Бриллюэна.

Нетрудно проверить, что симметрия прямой и обратной решёток совпадают.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: