ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Регулярное представлениеПусть задана группа G. Возьмём произвольный её элемент и произведём операцию левого сдвига по группе, т.е. каждый элемент группы умножим слева на . Тогда как мы знаем из §2, если то ни один элемент группы не останется на месте. Если же то никакого сдвига не произойдёт. Сдвиг, соответствующий любому элементу , можно формально записать с помощью матрицы порядка m: . Очевидно, что в каждом столбце матрицы R имеется только один элемент отличный от нуля и равный единице. Если то а , если . Матрицы, построенные таким образом, дают представление порядка m группы G, которое называется регулярным. Из определения регулярного представления следует, что его характеры таковы: если если Разложим регулярное представление на неприводимые части, т. е. выясним, сколько раз в нём содержится каждое неприводимое представление . Для этой цели нам следует найти величину . По известной формуле для неё, получаем Или, согласно последним формулам для характеров регулярного представления Таким образом, мы видим, что каждое неприводимое представление содержится в регулярном представлении столько же раз, каков порядок этого неприводимого представления. С помощью этой теоремы мы можем выразить порядок регулярного представления через порядки неприводимых представлений, на которые оно распадается. Вот это выражение В заключение этого параграфа без доказательства сформулируем ещё одну теорему: число различных неприводимых представлений группы равно числу её классов сопряжённых элементов. На основании теоремы о произведении двух классов сопряжённых элементов нетрудно получить основную формулу для вычисления характеров неприводимых представлений: , где - число элементов в классе p -номер неприводимого представления, - его размерность. На основании выше изложенного, можно сделать такой вывод: поскольку в циклической группе каждый элемент группы сам по себе образует класс, значит, число представлений в этой группе равно числу её элементов и каждое представление имеет размерность равную единице.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|