Характеры представлений. Этот параграф посвящён так называемым характерам представлений

Этот параграф посвящён так называемым характерам представлений. Введение этого понятия в теорию представлений оказалось чрезвычайно полезным в силу ряда их ценных свойств.

Характером представления T ( g) называется сумма диагональных элементов матрицы, соответствующей в каком-либо базисе оператору Т( g). По терминологии близкой к терминологии матричной квантовой механики сумма диагональных элементов матрицы называют её следом или шпуром и обозначают так .

Из теорем матричной алгебры следует, что шпур матрицы является инвариантной величиной, т.е. не зависит от выбора базиса пространства представлений. Перечислим следующие свойства:

а) эквивалентные представления имеют одинаковые характеры. Это свойство вытекает из инвариантности шпура;

б) характеры матриц представления, соответствующие элементам одного класса совпадают;

в) характеры неприводимых представлений обладают свойством ортогональности:

Доказательство этого свойства немедленно следует из соотношений ортогональности матричных элементов неприводимых представлений;

г) характер приводимого представления равен сумме характеров приводимых представлений, на которые оно может быть разложено. Это становится очевидным, если вспомнить квзидиагональный характер матрицы приводимого представления. Если обозначить через характер приводимого представления, то

где число показывает, сколько раз неприводимое представление входит в приводимое. Воспользовавшись свойством ортогональности характеров нетрудно получить

Отсюда следует, что разложение приводимого представление на неприводимые представления может быть выполнено единственным образом и представлено в таком символическом виде

,

где обозначает прямую сумму матриц.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: