![]() ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Нормальные колебания в трёхмерных кристаллахНесмотря на простоту одномерных случаев колебанй решётки, они обладают достаточной общностью, что позволило нам выяснить ряд важных свойств волн в решётке, а именно, получить дисперсионные соотношения и доказать существование акустической и оптической ветвей спектра, в дальнейшем на примере этх колебаний мы получим распределения спектра по частотам и найдём плотность состояний. По сравнению с линейной решёткой при рассмотрении двумерных, и трёхмерных кристаллов возникает одна дополнительная характеристика, играющая важную роль. Речь идёт о поляризации волн в решётке. Основная трудность при изучении динамики решётки в трёхмерном кристалле с одним или несколькими атомами в элементарной ячейке связана с тензорной природой межатомных сил. В результате решения этой задачи дисперсионные кривые теперь становятся зависимыми ещё от одного индекса На оси абсцисс отмечены точки высокой симметрити для волнового вектора в зоне Бриллюэна. Сплошные кривые – теоретические результаты, точки – эксперимент. Понятие о фононах Энергия колебаний решётки, или энергия упругой волны, является квантовой величиной. Квант энергии упругой волны называется фононом, названный так по аналогии с фотоном – квантом электромагнитной волны. Рассмотрим некоторые элементы квантовой теории гармонического кристалла сначала в одномерном случае. Тогда для классической функции Лагранжа L можно записать такое выражение
Что бы получить функцию Гамильтона, необходимо импульс P, заменить дифференциальным оператором который действует на функцию состояния системы, тогда получаем
Решения этого дифференциального уравнения хорошо известны. Собственные значения энергии для кристалла определятся фрмулой
где
Таким образом, полная энергия кристалла, состоящего из N атомов, равна энергии 3 N независимых осцилляторов. Ранее мы уже рассмотрели некоторые свойства колебаний линейных одноатомной и двухатомной цепочек. Наиболее характерным свойством этих колебаний является их закон дисперсии, связывающий частоту с волновым вектором В зависимости от степеи возбуждения нормального колебания оно может испускать то или иное число одинаковых фононов. Так, если, например, n=3, то его энергия
где
Из канонических перестановочных соотношений следует, что Операторы
Основное состояние кристалла описывается функцией в обозначении Дирака
Имеет наименьшее значение. Итак, стационарные возбуждённые состояния кристалла распределены по всему кристаллу и характеризуются волновым вектором q, (следовательно, квазиимпульсом Энергия же кристалла в состоянии
Второе слагаемое в этом выражении описывает энергию возбуждения системы. Различным возбуждённым состояниям при этом соответствует различный набор чисел Полное число фононов в кристалле, конечно, не сохраняется: оно даётся суммой всех
Это соотношение вместе с законом дисперсии Таким образом, при описании малых колебаний атомов решётки имеется два эквивалентных языка: язык гармонических осцилляторов и язык фононов. В связи с фононным языком описания сделаем следующие замечания: первое, бездоказательно был введён квазиимпульс фонона в виде Во-вторых, аналогию между частицами идеального газа и фононами можно провести, всё - же, не до конца. Именно, частицы - атомы или молекулы газа представляют собой «самостоятельные» объекты: можно например, поставить вопрос о физическом выделении некоторого их числа. В то время как представление о фононах - это лишь язык для описания нормальных колебаний решётки. Они представляют собой коллективные движения всех атомов кристалла. Поэтому фононы существуют лишь постольку, поскольку существует сама система из атомов, молекул. По этой причине фононы, как и дырки, называют квазичастицами. В-третьих, представление об идеальном газе фононов возникло на основании выражения (5.5.4) для полной энергии. Однако, оно справедливо только в гармоническом приближении: предполагалось, что потенциальную энергию можно представить в виде квадратичной формы по смещениям атомов. При учёте следующих членов в разложении, т.е. ангаромоническое приближение, появляются члены с третьей и более высокими степенями разложения по отклонениям. Эти дополнительные слагаемые можно трактовать как энергию взаимодействия фононов и газ становится неидеальным, и следует учитывать процессы рассеяния фононов друг на друге. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|