Статистика электронов и дырок в полупроводниках

Одним из основных параметров, характеризующих газ свободных носителей в полупроводниках, является химический потенциал. В применении к электронному и дырочному газу его обычно называют уровнем Ферми. В металлах, как уже неоднократно отмечалось, уровень Ферми является последним заполненным уровнем в зоне проводимости при абсолютном нуле температур. Концентрация электронного газа в металлах сравнима по порядку величины с числом состояний в зоне проводимости, вследствие чего этот газ является вырожденным и распределение электронов по состояниям описывается квантовой статистикой Ферми – Дирака, и его концентрация практически не зависит от температуры.

При термодинамическом равновесии вероятность заполнения квантовых состояний зависит только от энергии E и температуры. В собственных и слаболегированных полупроводниках электронный (дырочный) газ является невырожденным и распределение носителей по состояниям описывается классической статистикой Максвелла – Больцмана. Для таких полупроводников концентрация свободных носителей зависит от положения уровня Ферми и температуры. Найдём эту зависимость исходя из плотности состояний в энергетическом пространстве и статистики носителей. Для этих целей вполне пригодна модель свободных электронов с должным образом определённой эффективной массой плотности состояний и соответствующим выбором начала отсчёта энергий для электронов и дырок. Для плотности состояний, положив объём равным единице V =1 из формулы (3.9), получаем

. (6.3.1)

Так, для типичной энергетической зоны полупроводника, имеющей вид

, (6.3.2)

Получим, сделав замену переменных

(6.3.3)

Следующий результат:

, (6.3.4)

Откуда видно, что эффективная масса плотности состояний определяется выражением

.

Очевидно формула (5.3.4) должна быть справедлива и для электронных состояний в зоне проводимости. Нужно только выбрать дно этой зоны в качестве начала отсчёта энергии, поскольку ниже дна состояния отсутствуют.

Таким образом, для электронов проводимости выражение (5.3.4) принимает вид

, (6.3.5)

где – эффективная масса плотности электронных состояний в зоне проводимости, – энергия дна зоны проводимости. При температуре T, отличной от абсолютного нуля, в зоне проводимости такого полупроводника находятся электроны, а в валентной зоне – дырки. Обозначим их концентрацию соответственно n и p. Выделим около дна зоны узкий интервал энергий dE, заключённый между E и E+dE. Так как электронный газ является невырожденным, то число электронов dn, заполняющее интервал энергии dE, можно определить так (учитывая распределение Максвелла – Больцмана):

. (6.3.6)

Полное число электронов n, находящихся при температуре T в зоне проводимости, получим, интегрируя последнее выражение по всем значениям энергии в зоне от 0 до значения , но так как экспоненциальный множитель от энергии спадает очень быстро, то верхний предел в интеграле можно заменить , тогда имеем

, (6.3.7)

или

. (6.3.8)

– эффективная плотность состояний для зоны проводимости.

Обратим внимание, что в последнем выражении постоянная Планка не перечёркнутая. Подобный расчёт, проведённый для дырок p, возникающих в валентной зоне, приводит к выражению

,(6.3.9)

– эффективная плотность состояний для валентной зоны

где ширина запрещённой зоны, – эффективная масса дырок.

В последних выражениях использованы следующие соотношения (см. рис.)

. (6.3.10)

Из (5.3.7) и (5.3.9) следует, что концентрация свободных носителей заряда в данной зоне определяется расстоянием этой зоны от уровня Ферми: чем больше это расстояние, тем ниже концентрация носителей (так как см.п.14 и ).

Произведение n на p для любого невырожденного полупроводника, согласно тем же формулам (5.3.8) и (5.3.9), равно

.(6.3.11)

Эта формула показывает, что при фиксированной температуре произведение концентраций электронов и дырок для данного полупроводника является величиной постоянной. В этом состоит закон действующих масс в применении к газу свободных носителей в полупроводниках.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: