Определение числового ряда. Сходимость рядов, свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.

Определение. Пусть дана числовая последовательность ,... Выражение вида (1) называется числовым рядом. Числа называются членами ряда, число – общий член ряда. Суммы конечного числа первых членов ряда называются частичными суммами ряда.

Так как число членов ряда бесконечно, то частные суммы образуют числовую последовательность .

Определение. Если предел последовательности частичных сумм ряда существует и конечен, то ряд (1) называется сходящимся и сумма ряда (1) равна пределу : . Если предел не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости положительных рядов (принцип сравнения, радикальный признак Коши, признак Даламбера). Интегральный признак Коши-Маклорена.

Определение. Ряд называется положительным, если все его члены неотрицательны:

Теорема (критерий сходимости положительных рядов).

Для того, чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частных сумм ряда была ограничена (критерий носит теоретическое значение, и является основой, на которой базируются

другие признаки).

Достаточные признаки сходимости положительных рядов.

Признаки сравнения.

Теорема 1. Пусть члены положительных рядов (1) и (2) с вязаны соотношением , тогда из сходимости ряда (2) (большего) следует сходимость ряда (1) (меньшего); если ряд (1) (с меньшими членами) расходится, то расходится ряд (2) (с большими членами).

Теорема 2. Если предел отношения общих членов положительных рядов (1) и (2) есть конечное не равное нулю число , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: