Пределы и непрерывность функций 2 переменных. Особые точки

Пусть функция z = (х, у) определена в области D плоскости XOY, а т. лежит в области D (см. рис. 11.4).

О: Число А называется пределом функции f(x, у) при стремлении т. М(х, у) к т. если для любого числа >0 найдется такое число >0, что для всех т. М(х, у) за исключением, быть может, т. справедливо неравенство

Основные теоремы о пределах функции одной переменной (см. разд. 7.5) справедливы и для функций двух и большего числа переменных.

О: Функция z = (х, у) называется непрерывной в т. если: 1) она определена в т. и ее окрестности,

2)

О: Функция z =f(x, у) называется непрерывной на некотором множестве Е D, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

О: Точка называется точкой разрыва функции (М), если в ней нарушено хотя бы одно из условий 1), 2). Точки разрыва могут быть изолированными, могут образовывать линии разрыва.

Примеры: 1)

Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль у = х — линия разрыва

2)

т. — точка разрыва

Для функции трех и более переменных определения предела и непрерывности аналогичны.

О: Число А называется пределом функции у = (М) при стремлении т. к т.если для любого > 0 существует такое > 0, что из условия

следует

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: