ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Применение дифференциалаРассмотрим для примера функцию от двух переменных, которую будем предполагать дифференцируемой. Мы хотим вычислить эту функцию в точке , где , , Приближенные значения этих чисел запишем в виде конечных десятичных дробей , . Таким образом, имеют место приближенные равенства с абсолютными погрешностями приближения, удовлетворяющими неравенствам . Подставив в функцию вместо соответственно , получим приближенное равенство с абсолютной погрешностью , которую при достаточно малых можно приближенно заменить дифференциалом функции в точке : . Отсюда получаем неравенство . (1) На самом деле это неравенство приближенное, потому что мы получили его, пренебрегая некоторой величиной, правда, значительно меньшей, чем . Обратим внимание на тот факт, что конечные десятичные дроби при уменьшении , становятся все более и более громоздкими. Поэтому при вычислении числа мы должны беспокоиться не только о том, чтобы оно приближало должным образом, но и чтобы производимые при этом вычисления совершались возможно, экономно. В силу этого замечания из неравенства (1) следует, что если нужно, чтобы абсолютная погрешность не превышала данную малую величину, которую мы обозначим через , то этого мы достигнем, взяв числа , такими, чтобы выполнялись неравенства , (2) т. е. чтобы погрешность распределялась между слагаемыми в правой части неравенства (1) поровну. Из неравенств (2) видно, что вычисления будут наиболее экономными, если в качестве , (на самом деле , ) взять наибольшие возможные числа, удовлетворяющие этим неравенствам. П р и м е р 1. Функция имеет для , непрерывные частные производные, равные . Поэтому приближенное равенство имеет абсолютную погрешность, которая при малых приращениях , если пренебречь величинами, значительно меньшими этих приращений, удовлетворяет неравенству . Если требуется, чтобы гарантированная погрешность была меньше , надо подобрать так, чтобы . Мы видим, что числа не обязательно должны быть равными. Если, например, значительно меньше, чем , то соответственно надо взять меньшим, чем . Иначе наши вычисления были бы неэкономными. Если бы, например, было, что , где , то оказалось бы, что , и при этом на вычисление второго слагаемого , ввиду излишней малости , мы потратили бы излишнюю работу. Между тем вычисления упростятся, если взять возможно большие , , удовлетворяющие неравенствам. . П р и м е р 2. Функция имеет непрерывные частные производные , . Поэтому приближенное равенство имеет абсолютную погрешность , которая при малых приращениях , если пренебречь величинами, значительно меньшими этих приращений, удовлетворяет соотношениям . Соответственно относительная погрешность удовлетворяет соотношениям . Мы видим, что при малых и можно считать, что относительная погрешность произведения не превышает сумму относительных погрешностей сомножителей. П р и м е р 3. Функция для имеет непрерывные частные производные . Поэтому приближенное равенство имеет абсолютную погрешность , которая при малых приращениях , если пренебречь величинами, значительно меньшими, чем , удовлетворяет соотношениям . Соответственно относительная погрешность удовлетворяет соотношениям . Таким образом, при малых и можно считать, что относительная погрешность частного не превышает сумму относительных погрешностей делимого и делителя. 29 Таблица основных неопределённых интегралов.
Таблица основных неопределенных интегралов
33 Нахождение площадей плоских криволинейных фигур.Длина дуги.Объём тела вращения.
а) Допустим, что фигура предполагает наличие границы является криволинейной трапецией и , при условии, что на Если находится ниже оси (рис. 18.1), то
Рис. 18.1 Пример:
(рис. 18.1, б).
б) Предположим, что для фигуры харакерно наличие границы Площадь (рис. 18.2, а),
Рис. 18.2 соответственно получаем формулу В общем случае площадь находится с помощью формулы
Пример: (рис. 18.2, б).
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|