Теплопроводность плоской стенки

При установившемся (стационарном) тепловом режиме , поэтому уравнение (13) принимает вид

или . (21)

Развернутая форма оператора зависит от выбранной системы координат. При отсутствии внутренних источников теплоты , уравнение теплопроводности при стационарном температурном поле запишется в виде

. (21а)

Определим тепловой поток теплопроводностью через изотропную плоскую стенку, предполагая, что температура меняется только в направлении,

перпендикулярном плоскости стенки (рис.2а) имеем:

(22)

и

. (22а)

Интегрируя уравнение (22а) имеем

. (23)

Второе интегрирование дает

. (24)

Рис. 2. Теплопроводность плоской однослойной (а) и многослойной

стенки (б)

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий первого рода

. (25)

Подставляя постоянные интегрирования в формулу (24), получим уравнение распределения температуры в рассматриваемом сечении стенки

. (26)

Из выражения (26) следует, что уравнение распределение температуры в стенке, при граничных условиях первого рода, является линейной функцией.

По закону Фурье и с учетом формул (23) и (25) получим

. (27)

Тепловой поток определяется следующим образом:

. (28)

Отношение называется тепловой проводимостью стенки. Обратная величина представляет собой удельное термическое сопротивление стенки.

С учетом выше сказанного уравнения (27) и (28) могут быть представлены следующим образом:

, (29)

. (30)

Таким образом можно утверждать, что величина удельного или полного теплового потока зависит от термического сопротивления стенки.

Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через плоскую трехслойную стенку (рис. 2б) при условиях: толщина слоев стенки , , ;

коэффициенты теплопроводности материалов соответственно , , ; контакт между стенками идеальный и температура на границе смежных слоев одинакова. Перенос тепла происходит в стационарных условиях – плотность теплового потока по всем слоям стенки имеет одно и то же значение (q=const.). В этих условиях

(31)

Выделим из этого ряда равенств разности температур (падение температуры по слоям стенки):

(32)

(32а)

(32б)

Складывая левые и правые части уравнений разности температур, получаем слева изменение температуры в стенке , справа – произведение плотности теплового потока q и общего термического сопротивления

(33)

Таким образом, для плотности теплового потока при переносе теплоты теплопроводностью через плоскую трехслойную стенку получим следующее выражение:

(34)

В общем случае для плоской стенки, состоящей из n – слоев, это выражение запишется так

(35)

где R – общее термическое сопротивление многослойной стенки.

Как следует из соотношения (35), плотность теплового потока прямо пропорциональна разности температур () и обратно пропорциональна термическому сопротивлению стенки R.

Рис.3. Теплопроводность цилиндрической стенки

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: