ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Теплопроводность цилиндрической стенкиРассмотрим теплопроводность цилиндрической однослойной стенки (рис. 3) с внутренним диаметром d1=2r1 и наружным диаметром d2=2r2 в условиях стационарного температурного поля . Внутренние источники теплоты отсутствуют (qv=0). Уравнение теплопроводности цилиндрической стенки (14) в рассматриваемых условиях имеет вид
= 0. (36)
Температуры на наружной и внутренней поверхности цилиндрической стенки неизменны и ось z совмещена с осью цилиндра
и . (36а)
В данном случае температура изменяется только в радиальном направлении
. (37)
Граничные условия
при ,
при . (38)
Для решения уравнения (37) введем новую переменную , тогда уравнение (37) запишется в виде
. (39)
Интегрируя (39), получим
. (40)
Потенцируя выражение (40) и переходя к первоначальным переменным, получаем
. (41)
После интегрирования имеем
. (42)
Постоянные интегрирования С1 и С2 можно определить из граничных условий (38):
; . (43)
Решая уравнение (43) относительно С1 и С2, найдем:
; . (43а)
Подставляя полученные значения С1 и С2 в уравнение (42), получаем
. (44)
Выражение температурного поля (44) представляет собой уравнение логарифмической кривой. То, обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является криволинейным, можно объяснить следующим. В случае плоской стенки плотность теплового потока q остается одинаковой для всех изотермических поверхностей. В случае цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность будет величиной переменой, так как величина поверхности зависит от радиуса. Для определения теплового потока через цилиндрическую поверхность воспользуемся законом Фурье
. (45)
Подставляя в уравнение Фурье значение градиента температуры (41) получим (учитывая, что )
, (46) или . (46а)
Тепловой поток может быть отнесен либо к единице внутренней или внешней поверхности, либо к единице длины. При этом расчетные соотношения для удельного теплового потока принимают вид
, (47)
(q1 – тепловой поток через единицу внутренней поверхности);
, (48) (q2 – тепловой поток через единицу внешней поверхности);
, (49)
(ql – тепловой поток через единицу длины поверхности). Тепловой поток отнесенный к единице длины, имеет размерность Вm/м и называется линейным тепловым потоком. Рассуждая аналогично, как при получении расчетного соотношения теплового потока для многослойной плоской стенки, можно получить выражение для определения линейного теплового потока в случае многослойной цилиндрической стенки
. (50)
где знаменатель называется полным термическим сопротивлением теплопроводности многослойной цилиндрической стенки. Из уравнения (50) может быть определена температура на границе любых двух слоев
. (51)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|