ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Теплопроводность при нестационарном температурном полеРешить задачу теплопроводности при нестационарном температурном поле – значить установить зависимость между температурой t, временем и координатами тела x,y,z. Такая зависимость получается решением дифференциального уравнения теплопроводности при определенных условиях однозначности. При отсутствии внутренних источников тепла дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид
. (54)
Уравнение (54) является линейным, однородным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Решения такого уравнения обладают свойством наложения аналогично решениям обыкновенного однородного дифференциального уравнения: если t1 и t2 — частные решения уравнения, то выражение является также его решением при произвольных значениях постоянных С1 и С2. Поскольку у постоянных С1, и С2 возможны различные значения, уравнение типа (54) может иметь бесконечно большое количество частных решений. Для решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего заданным условиям однозначности, берут сумму частных решений, в которых постоянные Сi имеют определенные значения. Соответствующим подбором постоянных Ci, удовлетворяют решение исходному дифференциальному уравнению и условиям однозначности. К классическим методам решения уравнения теплопроводности относятся метод разделения переменных и метод источников. Метод разделения переменных. По этому методу решается уравнение теплопроводности, а затем, исходя из начальных и граничных условий, определяются постоянные в общем решении. Частное решение t выражается произведением двух функций, одна из которых U(τ) зависит только от времени τ, а другая P(x,y,z) зависит только от координат
, (55)
где С – произвольная постоянная. Подставляя решение (55) в уравнение (54) получим
. (56)
Уравнение (56) можно переписать так
. (57)
Левая часть уравнения(57) может зависеть только от или быть постоянным числом; она не зависит от координат. Правая часть может зависеть от координат или быть постоянным числом; она не зависит от времени. Поскольку уравнение (57) справедливо при любых значениях времени и координат, то правая и левая части его равны постоянной величине, которую обозначим через D. Таким образом, мы получим два дифференциальных уравнения для определения вида функций U(τ) и P(x,y,z):
; . (58)
Решением уравнения (58) является
, (59)
где С – постоянная интегрирования. Постоянная величина D выбирается из физических соображений. В большинстве случаев при нагревании или охлаждении тел по истечении длительного времени температура распределяется в теле определенным образом. Для тепловых процессов, стремящихся к тепловому равновесию, величина D не может быть положительной, потому что можно задать такой промежуток времени, при котором температура в теле будет стремиться к бесконечности, что физически невозможно. Величина D не может равняться нулю, так как при D=0 функция U(τ) в уравнении (59) имела бы постоянное значение, а температура тела не зависела бы от времени, как это следует из уравнения (55), что не реально. Таким образом, из физических соображений следует, что величина D может быть отрицательной или мнимой величиной. Последний случай будет при условии, что температура тела есть периодическая функция времени, тогда экспонента (59) будет периодической функцией времени. Рассматривая случай, когда D < 0, предположим, что
, (60)
где а –коэффициент температуропроводности (величина положительная); m – некоторая постоянная величина, определяемая из граничных условий. С учетом (60) имеем выражение для функции
. (61)
Уравнение (58) для становится следующим:
(62)
Методы решения уравнения (62) излагаются в курсах высшей математики. Исходя из того, что при заданных условиях однозначности решение уравнение (62) найдено, и вид функции известен, частное решение уравнения (54) примет вид
(63)
Для общего решения уравнения (54) по принципу наложения берут сумму частных решений. Постоянная m определяется из граничных условий, а постоянная C – из начальных условий. Метод источников. Метод источников заключается в замене процесса распространения теплоты в теле теплопроводностью совокупностью процессов выравнивания температуры от большого количества элементарных источников теплоты, распределенных в пространстве и времени. Правильный выбор источников теплоты и их распределение во времени – необходимое условие получения надежного решения уравнения теплопроводности. Сущность метода источников покажем на примере неограниченного тела при одномерном потоке теплоты. В этом случае действие элементарного источника характеризуется функцией источника на бесконечной прямой
. (64)
Функция G представляет температуру в точке x, если в начальный момент времени в точке выделяется теплота в количестве . Количество теплоты на бесконечной прямой равно
(65) где . (65а)
Таким образом, количество теплоты Q не зависит от времени. Оно равно произведению площади, ограниченной кривой G и осью абсцисс x, на объемную теплоемкость cp. Функцию называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности, поскольку она удовлетворяет этому уравнению. В самом деле, для неограниченного тела при одномерном потоке теплоты уравнение (54) имеет вид
. (66)
Если функция G является решением уравнения (66), его можно записать так
. (67)
Пользуясь уравнением (64), найдем выражения для и :
(68)
. (69)
Сопоставление последних двух выражений показывает, что действительно справедливо уравнение (67). Преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа приводит к операционному методу решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. В этом методе краевые условия используются в начальной стадии решения, что во многих случаях исключает необходимость определения произвольных постоянных. Преобразование Лапласа функции , обозначаемое символом , называется операцией умножения на с последующим интегрированием по в интервале от 0 до
. (70)
Величина u может быть действительной и мнимой; в обоих случаях ее действительная часть должна быть достаточно велика, чтобы обеспечить сходимость интеграла. Выражение называется изображением оригинала, т.е. функции . Таким образом, изображения различных функций могут быть получены непосредственным интегрированием. Например, если = , то изображение этой функции будет
. (71)
Обратное изображение дает начальную функцию. Например, называется исходной функцией, или оригиналом изображения . Преобразования Лапласа первой и второй производных функций определяются соотношениями:
(72)
(73)
В этих изображениях и ее производная представляют граничные условия, которым должна удовлетворять функция . Интеграл Лапласа (71) и соотношения (72) и (73) можно использовать для интегрирования дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей. Метод конечных разностей часто используют для решения задач нестационарной теплопроводности, особенно при нагревании или охлаждении тел простой геометрической формы. В основе этого метода лежит допущение о возможности замены, например в уравнении теплопроводности, бесконечно малых изменений температуры во времени и пространстве малыми, но конечными ее изменениями. Тем самым протекающий непрерывно процесс изменения температуры в теле при его нагревании или охлаждении заменяется совокупностью скачкообразных процессов. В случае одномерного нестационарного температурного поля уравнение теплопроводности заменяется уравнением в конечных разностях
. (74)
Решение уравнения (74) может быть выполнено аналитический и графически. Численный метод. В основу численного метода определения распределения температуры положено уравнение теплопроводности в конечных разностях, с помощью которого вычисляют температуру в фиксированных точках тела. Для применения численного метода рассматриваемое тело разбивают на ряд элементарных объемов, и центральным точкам каждого объема присваивается номер. Предполагается, что тепловые свойства каждого такого объема сосредоточены в его центральной узловой точке и, что передача теплоты между узловыми точками осуществляется через условные теплопроводящие стержни. В нестационарном состоянии в каждом элементарном объеме подвод и отвод теплоты сопровождается изменением внутренней энергии, причем величина этого изменения зависит от изменения температуры в элементарном объеме в течение рассматриваемого промежутка времени, его теплоемкости, плотности и массы. Рассмотрим применение численного метода к расчету распределения температуры в плоской стенке. Разбивая стенку на элементарные объемы V =δ·δ·1=δ2 (рис. 4а,б), где δ – сторона элементарного объема. Количество теплоты, подводимое к узловой точке в соответствии с законом Фурье, равно . При малой величине δ тепловой поток q можно выразить через конечные разности а б Рис. 4. Разбиение и числовая сетка определения нестационарного температурного поля а – одномерное температурное поле; б – двухмерное температурное поле
(75)
где Δ t – разность температур между смежными узловыми точками Общее количество теплоты за время Δτ равно
(76)
Изменение внутренней энергии в данной узловой точке за время Δτ согласно первому началу термодинамики определяется следующим образом
(77)
где t – температура в рассматриваемой узловой точке в момент времени τ; – температура в той же точке в момент времени ; V – объем элементарного участка. Уравнение теплового баланса в конечных разностях для узловой точки 1 (см. рис. 4а) можно записать в виде
. (78)
С учетом (76) уравнение (78) принимает вид
(79)
Разделим уравнение (79) на и с учетом того, что и - критерий Фурье (безразмерное время) искомая температура в рассматриваемой точке 1 в последующий интервал времени будет равна
. (80)
В случае двухмерного температурного поля тело разбивается на элементарные объемы с размерами ячеек ; расчетная схема узловых точек показана на рис. 4б. В соответствии с рис. 4б искомое уравнение температуры для точки 5 запишется в виде
. (81)
Уравнения (80 и 81) являются основой численного метода расчета нестационарной теплопроводности одномерного и двухмерного тела. В качестве примера приведем расчет нестационарной теплопроводности одномерного тела методом разделения переменных. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|