![]() ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Примеры решения задач. Пример 1. У светофора трактор, движущийся равномерно со скоростью 18 км/ч, обогнал автомобиль, который из состояния покоя начал двигаться с ускорением а=1,25Пример 1. У светофора трактор, движущийся равномерно со скоростью 18 км/ч, обогнал автомобиль, который из состояния покоя начал двигаться с ускорением а=1,25 м/с2. Определить: 1)на каком расстоянии от светофора автомобиль обгонит трактор; 2)скорость автомобиля при обгоне. Решение.1. В начальной момент t=0 скорость автомобиля равна нулю, а скорость трактора ύт=18 км/ч. так как автомобиль движется равноускоренно, пройденный им путь выражается формулой (1)
где а - ускорение автомобиля; t – время. Если t – время, за которое автомобиль догонит трактор, то s – расстояние от светофора до места, где произойдет обгон. За время t такой же путь s пройдет трактор, движущийся равномерно, т. е. S=ύтt, (2) где ύт – скорость трактора. Приравнивая правые части (1),(2). получаем at2/2=ύтt, (3) откуда t=2ύt/a (3/)
Путь s, пройденный автомобилем от светофора до места обгона, получим по формуле (1), подставив вместо t выражение (3/):
Проверим формулу (4): Выразим в СИ скорость трактора: Вычислим искомое расстояние от светофора до места обгона: 2.Скорость автомобиля, движущегося равноускоренно, выражается формулой ύ=аt. При подстановке в нее выражения (3/ ) получим Вычислим искомую скорость автомобиля:
ύ=2 5,0 м/с=10 м/с.
Пример 2. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массой m1=250г (рис. 1). Тело массой m2=400г подвешено на нити, перекинутой через блок и привязанной к телу m1. Пренебрегая массой блока и трением, определить: 1)силу натяжения нити; 2)ускорение тел. Решение.1. на тело массой m2действуют сила тяжести Р2=m2g и сила натяжения Т нити.
Силы, направление которых совпадает с направлением ускорения, будем считать положительными. А силы, направление которых противоположно направлению ускорения, - отрицательными. Запишем второй закон Ньютона для тела массой m2:
m2g -T=m2a, (1)
где а – ускорение тела; g – ускорение свободного падения. На тело массой m1 действуют сила тяжести Р1=m1g сила натяжения Т нити и сила реакции N стола. Силы N и P 1 равны по модулю и противоположно направлены поэтому их равнодействующая равна нулю. Вследствие этого отсутствует вертикальное перемещение тела. Второй закон Ньютона в скалярном виде для тела массой m1 имеет вид
Т=m 1 a (2)
Чтобы найти ускорение, подставим (2) в (1): m 2 g-m 1 a-m 2 a, или m 2 g=(m 1 +m 2 )a, откуда
a=m 2 g/(m 1 +m 2 ). (3)
Выразим массу тел m 1и m 2 в единицах СИ: m1=0,25 кг и m2=0,40 кг. Вычислим ускорение а по формуле (3): 2.силу натяжения нити найдем, подставив полученный результат в уравнение (2): Т=
Пример3. Тело массой m=1 кг вращается на тонком стержне в вертикальной плоскости. Частота вращения на тонком стержне в вертикальной плоскости. Частота вращения равна п =2с-1 длина стрежня R =1,25 см. Определить силу натяжения стержня: 1)в верхней и 2)в нижней точках. Решение 1. На тело в верхней точке действуют сила тяжести Р = mg и сила натяжения Т стержня (рис.2). В результате действия двух сил тело движется по окружности, т. е. с центростремительным ускорением
где ω – угловая скорость; R – радиус траектории. Учитывая, что ω=2πn, можем записать
Направление сил Т 1 и Р совпадает с вектором
Т 1+ mg=m или с учетом (2)
Т 1+ mg=4mπ 2 п 2 R, (4)
Откуда Т 1=m(4π2 п 2 R - g). (5)
Выразим в СИ числовые значения R и g: R= 0,125 м, g= 9,81м/с2. Вычислим по формуле (5) искомую силу натяжения стержня в верхней точке траектории:
Т1= 1(4·3,142·22·0,125-9,81)Н=9,93 Н.
2.В нижней точке траектории на тело действуют (рис. 3) те же силы Р=mg и Т2. Однако сила Р в данном случае направлена противоположно вектору а ц.с в связи с этим второй закон Ньютона имеет вид
откуда Т2=m(g+4π 2 п 2 R).
После подстановки имеем
Т 2 = 1(9,81+4·3,142·22·0,125)Н=29,55 Н.
Пример 4. Подъемный кран за время t =6ч поднимает строительные материалы массой m= 3000т на высоту h =15м. Определить мощность двигателя подъемного крана, если его коэффициент полезного действия Решение. Подъемный кран. Поднимая груз на высоту h, увеличивает его потенциальную энергию. Работа А, совершаемая двигателем подъемного крана, идет на подъем груза и на работу против сил трения в механизмах. Полезная работа
где g – ускорение свободного падения. Коэффициент полезного действия ή= Учитывая, что ή= mgh /(Nt). Мощность двигателя равна
N=mgh /(ήt). (2) Проверим формулу (2): Выпишем в СИ числовые значения величин, входящих в (2): m= 3·106кг, g =9,8 м/с2, t =2,16·104c. Вычислим искомую мощность двигателя: Пример 5. Тело массой m=200г прикреплено к нити и вращается по окружности радиусом R1=80 см с постоянной линейной скоростью ύ1=150 см/с. при вращении нить укорачивается на длину l =30 см. Определить: 1) установившуюся скорость вращения; 2) частоту вращения. Решение.1. При равномерном вращении тела уменьшение длины нити создается силой F, направленной вдоль радиуса R 1. Плечо R этой силы равно нулю; следовательно, момент силы M=FR также равен нулю. Вращение тела, свободного от действия моментов сил, подчиняется закону сохранения момента импульса: Ј1 где Ј1 и ω1 – момент инерции и угловая скорость тела в начальный момент времени; Ј2 и ω2 – то же, в конечный момент времени. Следовательно, начальный момент импульса Ј1ω1 равен моменту импульса Ј2ω2 тела после укорачивания нити. Считая, что тело представляет собой материальную точку, определим его момент инерции: Ј=mR 2, (2) где R – радиус окружности, по которой вращается тело. Угловую скорость выразим через линейную: ω = ύ /R (3) Для начального момента времени по формулам (2) и (3) получим Ј 1= m После укорачивания нити Ј 2= m Подставляя в (1) выражения (4) и (5), получаем После преобразований с учетом того, что R2=R1-l, окончательно имеем
ύ1R1 = ύ2 (R1- l), откуда (6) ύ2 =ύ1R1 / (R1- l).
Проверим расчетную формулу (6): Выразим числовые значения величин в СИ: ύ1=1,50 м/с, R 1=0,80 м, l =0,30 м. Вычислим искомую конечную скорость: 2.Для определения частоты вращения п 2 после укорачивания нити воспользуемся формулами ω2=ύ2/ R 2=ύ2/(R 1 -l) и ω2=2π п 2. Приравнивая их правые части, получаем 2π п 2 =ύ2(R 1 -l), откуда
Проверим формулу (7): Вычислим искомую конечную частоту вращения:
Пример 6. Диск, катившийся со скоростью ύ1 = 3 м/с, ударился о стену и покатился назад со скоростью ύ2 =2 м/с. Масса диска равна m = 3 кг. Определить уменьшение кинетической энергии диска. Решение. Кинетическая энергия диска равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений: Е= здесь Подставив в (1) выражения для
Выражение (2) можно использовать для записи полной кинетической энергии Е 1 до удара о стену и полной кинетической энергии Е 2 после взаимодействия со стеной: Разность кинетических энергий Подставив данные задачи, вычислим искомую разность энергий: Знак минус показывает, что произошло уменьшение кинетической энергии диска. Пример 7. Точка совершает гармонические колебания согласно уравнению Решение. Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде: х=А sin ωt, (1) где х – смещение точки; А – амплитуда; ω – круговая частота; t – время. По определению, скорость равна производной от смещения по времени:
Подставив (1) в (2), продифференцируем полученное выражение:
По определению, ускорение равно производной от скорости по времени:
Подставив (3)в (4), продифференцируем полученное выражение:
Из сравнения уравнения
Проверим формулы (6): вычислим искомые скорость и ускорение точки: ύ=0,1·3,14 cos(π/6) м/с=0,272 м/с, а =-0,1·3,142 sin(π/6) м/с2=-0,492 м/с2.
2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|