Примеры решения задач. Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x=A+Bt+Ct3, где A=2 м, В=1 м/с, С=–0.5 м/с3

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x=A+Bt+Ct³, где A =2 м, В =1 м/с, С= –0.5 м/с³. Найти координату х, скорость _x и ускорение а_x точки в момент времени t =2с.

Решение. Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:

х = (2+1×2 – 0.5 2³) м = 0.

Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная от координаты по времени:

.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

.

В момент времени t = 2с

_x = (1-3×0,5×2²) м/с= – 5 м/с; а_х = б(— 0,5)×2 м/с²= – 6 м/с².

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j=А+Вt+Ct², где А=10 рад, В =20 рад/с, С= – 2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находя­щейся на расстоянии r =0,1 м от оси вращения, для момента времени t=4 с.

Решение. Полное ускорение а точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения а_t, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения a_n, направленного к центру кривизны траектории (рис. 1):

а = a_t +a_n.

Так как векторы а_т и а_n взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения

– 11 –

. (1)

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами а_t = er, а_n = w²r,

239. Трехатомный газ под давлением р=240кПа и температуре t=20°C занимает объем V=10л. Определить теплоемкость С_р этого газа при постоянном давлении.

240. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объем V=5л. Вычислить теплоемкость этого газа при постоянном объеме.

241. Найти среднее число <z> столкновений за время t=1с и длину свободного пробега молекулы гелия, если газ находится под давлением р=2кПа при температуре T =200 К.

– 12 –

постоянной, т. е.

Р_1x+ р_2x = p`<sub>1x</sub> + p`_2x, (1),

где р_1x и р_2x – проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; p’_1x и p'_2x – те же величины после падения ящика. Рассматривая тела системы как материальные точки, выразим в равенстве (1) импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что р_2x= 0 (тележка до взаимодействия с ящиком покоилась), а также что после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью и:

m_{1 1x} = (m₁+ т₂) и, или m_{1 1} cosa= (m₁ +m₂) и,

где ₁– модуль скорости ящика перед падением на тележку; _1x = ₁cosa – проекция этой скорости на ось х.

Отсюда (2)

Модуль скорости определим из закона сохранения энергии:

m₁gh = ½ m₁ , где h =lsina, откуда

= .

Подставив выражение в формулу (2), получим

После вычислений найдем

м/c.

Пример 4. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m=20 г поднялась на высоту h=5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на ∆ х=10 см. Массой пружины и силами трения пренебречь.

Решение. Рассмотрим систему пружина – пуля. Так как на тела системы действуют только консервативные силы, то для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия E системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом)

– 13 –

равна полной энергии Е в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т.е.

Е₁=Е₂, или Т₁+П₁=Т₂+П₂, (1)

где Т₁, Т₂, П₁ и П₂ – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид

П₁=П₂. (2)

Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяготения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а высота подъема пули будет отсчитываться от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т.е. П₁= ½ k(∆x) ², а в конечном состоянии – потенциальной энергии пули на высоте h, т.е. П₂=mgh.

Подставив выражения П₁ и П₂ в формулу (2), найдем ½ k(∆x)² =mgh, откуда

k=2mgh/x². (3)

Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k. Для этого в правую часть формулы (3) вместо величин подставим их единицы (единицу какой-либо величины принято обозначать символом этой величины, заключенным в квадратные скобки):

(1кг×1м×с^-2×1м)/1м²=(1кг×м×с^-2)/1м=1Н/м.

Убедившись, что полученная единица является единицей жесткости (1Н/м), подставим в формулу (3) значения величин и произведем вычисления:

Пример 5. Шар массой m₁, движущийся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю e своей кинетической энергии первый шар передал второму?

– 52 –

Dр=100кПа. Определить массу т израсходованного кислорода. Процесс считать изотермическим.

220. Определить плотность r водяного пара, находящегося под давлением р=2,5кПа и имеющего температуру Т=250 К.

221. Определить внутреннюю энергию U водорода, а также среднюю кинетическую энергию <e> молекулы этого газа при температуре Т = 300К, если количество вещества n этого газа равно 0,5 моль.

222. Определить суммарную кинетическую энергию E_K поступательного движения всех молекул газа, находящегося в сосуде вместимостью V=3л под давлением p=540 кПа.

223. Количество вещества гелия n= 1,5 моль, температура Т= 120 К. Определить суммарную кинетическую энергию E_к поступательного движения всех молекул этого газа.

224. Молярная внутренняя энергия U_m некоторого двухатомного газа равна

6,02 кДж/моль. Определить среднюю кинетическую энергию <e_вр> вращательного движения одной молекулы этого газа. Газ считать идеальным.

225. Определить среднюю кинетическую энергию <e_вр> одной молекулы водяного пара при температуре Т =500 К.

226. Определить среднюю квадратичную скорость <v_кв> молекулы газа, заключенного в сосуд вместимостью V=2л под давлением р=200кПа. Масса газа m=0,3 г.

227. Водород находится при температуре T=300 К. Найти среднюю кинетическую энергию <e_вр> вращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию E_к всех молекул этого газа; коли­чество водорода n=0,5моль.

228. При какой температуре средняя кинетическая энергия <e_п> поступательного движения молекулы газа равна 4,14×10^-21 Дж?

229. В азоте взвешены мельчайшие пылинки, которые движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Масса каждой пылинки равна 6×10^-10 г. Газ находится при температуре T=400 К. Определить средние квадратичные скорости

– 51 –

208. В баллоне вместимостью V=3л содержится кислород массой m=10г. Определить концентрацию молекул газа.

209. Определить относительную молекулярную массу М_r. 1) воды; 2) углекислого газа; 3) поваренной соли.

210. Определить количество вещества n и число N молекул азота массой т = 0,2 кг.

211. В цилиндр длиной l=1, 6м, заполненный воздухом при нормальном атмосферном давлении р₀, начали медленно вдвигать поршень площадью основания S= 200 см². Определить силу F, действующую на поршень, если его остановить на расстоянии l₁=10см от дна цилиндра.

212. В баллоне находится газ при температуре Т₁=400К. До какой температуры Т₂ надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

213. Баллон вместимостью V=20л заполнен азотом при температуре 7=400 К. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на Dp = 200кПа. Определить массу m израсходованного газа. Процесс считать изотермическим.

214. В баллоне вместимостью V=15л находится аргон под давлением р₁=600кПа и при температуре T₁ = 300 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до p₂= 400кПа, а температура установилась Т₂=260 К. Определить массу m аргона, взятого из баллона.

215. Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление р₁ = 2 МПа и температура T₁ = 800K, в другом р₂ = 2,5 МПа, T₂ = 200К. Сосуды соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры T=200 К. Определить установившееся в сосудах давление р.

216. Вычислить плотность r азота, находящегося баллоне под давлением р=2МПа и имеющего температуру Т =400 К.

217. Определить относительную молекулярную массу М_r газа, если при температуре T=154К и давлении р=2,8МПа он имеет плотность r=6,1 кг/м³.

218. Найти плотность азота r при температуре Т=400К и давлении р=2МПа.

219. В сосуде вместимостью V=40 л находится кислород при температуре T=300К. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на

– 14 –

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

(1)

где Т₁ – кинетическая энергия первого шара до удара; u₂ и Т₂ –скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1), для определения e надо найти u₂. Согласно условию задачи, импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:

M₁ =m₁u₁+m₂u₂; (2)

(3)

Решив совместно уравнения (2) и (3) найдем :

Подставив это выражение u₂ в формулу (1) и сократив на и m₁, получим

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

Пример 6. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m=80г (рис. 4), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m₁ =100г и m₂ =200г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально

– 15 –

вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

T₁ - m₁g = m₁a (1)

для второго груза

m₂g - T ₂ = m₂a (2)

Под действием моментов сил T₁ и T₂ относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение e. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

, (3)

где ; – момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити , . Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо и выражения Т₁ и Т₂, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

(m₂g-m₂a)r-(m₁g+m₁a)r=mr²a/(2r).

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

(4)

Формула (4) позволяет массы m₁, m₂ и m выразить в граммах, как они даны в условиях задачи, а ускорение – в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим

Пример 7. Маховик в виде сплошного диска радиусом R=0,2м и массой m=50 кг раскручен до частоты вращения n₁=480 мин^-1 и предоставлен сам

себе. Под действием сил трения маховик остановился через t=50c. Найти момент М сил трения.

Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде

(1)

– 50 –

Па = 3,2 Па;

A=2×3,14×(0,1)²×40×10^-3 Дж = 2,5×10^-3 Дж = 2,5 мДж.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: