Уравнение Бернулли и следствия из него

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями S ₁и S ₂, по которой слева направо течет жидкость (рис. 5.3). Пусть в месте сечения S ₁ скорость течения v ₁, давление р ₁и высота, на которой это сечение расположено, h ₁. Аналогично, в месте сечения S ₂скорость течения v₂, давление p ₂ и высота сечения h ₂. За малый промежуток времени Δ t жидкость перемещается от сечений S ₁ и S ₂ к сечениям S′ ₁ и S′ ₂.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии W ₂ – W ₁ идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемеще­нию массы т жидкости:

W ₂ – W ₁= A, (5.3)

где W ₁и W ₂ - полные энергии жидкости массой т в местах сечений S ₁и S ₂соответственно.

С другой стороны, А - это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S ₁и S ₂,за рассматриваемый малый промежуток времени Δ t. Для перенесения массы т от S ₁ до S' ₁жидкость должна переме­ститься на расстояние l ₁ = υ ₁Δ t и от S ₂ до S' ₂ - на расстояние l ₂ = υ ₂Δ t. Отметим, что l ₁и l ₂настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.6.3, приписывают постоянные значения скорости υ, давления р и высоты h. Следовательно,

А = F ₁ l ₁ + F ₂ l ₂ (5.4)

где F ₁ = p ₁ S ₁и F ₂ = - p ₂ S ₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противопо­ложную течению жидкости; рис.5.3).

Полные энергии W ₁и W ₂будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости:

W ₁ = mυ ₁²/2 + mgh ₁, (5.5)

W ₂ = mυ ₂²/2 + mgh ₂(5.6)

Подставляя (5.5) и (5.6) в (5.3) и приравнивая (5.3) и (5.4), получим

mυ ₁²/2 + mgh ₁ + p ₁ S ₁ υ ₁Δ t = mυ ₂²/2 + mgh ₂ + p ₂ S ₂ υ ₂Δ t (5.7)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (5.2), объем, занимаемый жидкостью, остается посто­янным, т. е. Δ V = S ₁ υ ₁Δ t = S ₂ υ ₂Δ t. Разделив выражение (5.5) на Δ V, по­лучим ρυ ₁²/2 + ρgh ₁ + p ₁ = ρυ ₂²/2 + ρgh ₂ + p ₂, где ρ - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то мо­жем записать

ρυ ²/2 + ρgh + p = const (5.8)

Выражение (5.8) называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли – выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина р в формуле (5.8) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρυ ²/2 – динамическим давлением. Как уже указывалось выше, величина ρgh представляет гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h ₁= h₂) выражение (5.8) принимает вид

ρυ ²/2 + p = const, (5.9)

где p + ρυ ²/2называется полным давлением.

Из уравнения Бернулли (5.9) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (5.2) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис.5.4). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито - Прандтля (рис.5.5).

Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, про­тивоположные концы которых присоедине­ны к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р ₀), с помощью другой - статическое (р). Ма­нометром измеряется разность давлений:

р ₀ – p = ρ ₀ gh, (5.10)

где ρ ₀ – плотность жидкости в манометре.

С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:

р ₀ – p = ρυ ²/2(5.11)

Из формул (5.10) и (5.11) получаем иско­мую скорость потока жидкости:

υ = (5.12)

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис.5.6).

Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм.рт.ст.

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.5.7).

Рассмотрим два сечения (на уровне h ₁ свободной поверхности жидкости в сосуде на уровне h₂ выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:

ρυ ₁²/2 + ρgh ₁ + p ₁ = ρυ ₂²/2 + ρgh₂ + p ₂.

Так как давления р ₁и р ₂в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. p ₁ = p _2, то уравнение будет иметь вид
υ ₁²/2 + gh ₁ = υ ₂²/2 + gh ₂.

Из уравнения неразрывности (5.2) следует, что υ ₂/ υ ₁ =S ₁/ S ₂, где S ₁и S ₂ - площа­ди поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S ₁ >> S ₂, то членом υ ₁²/2 можно пренебречь и

υ ₂² = 2g(h ₁ – h ₂ ) = 2 gh,

υ ₂ = (5.13)

Это выражение получило название формулы Торричелли.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: