Аксиомы стереометрии

Лекции по стереометрии

Н.С. Шабрыкина

Прямые и плоскости в пространстве

Введение

Стереометрия – это раздел геометрии, изучающий пространство. Пространством в элементарной геометрии называется множество, элементы которого называются точками и в котором выполнены аксиомы стереометрии. Элементы этого множества называются точками.

Расстояниями называются величины, соответствующие каждым двум точкам пространства так, что выполнены аксиомы стереометрии.

Плоскостью в пространстве называется содержащаяся в нем фигура, на которой выполнена планиметрия и для которой справедливы аксиомы стереометрии.

Прямой называется фигура на плоскости, для которой вместе с другими такими фигурами выполняются аксиомы планиметрии.

Как видно, эти определения не конструктивные. Они лишь говорят о том, что вводится ряд некоторых связанных между собой объектов, которые будут обладать определенными свойствами. Стереометрия, как и любая наука строится на основе аксиом и определений. Остальные выводы получаются из них с помощью логических рассуждений и формулируются в виде теорем. От того, какой набор аксиом выбрать, будет зависеть конечные результаты, получаемые с помощью данной теории. Проверка правильности предположений происходит при помощи сравнения с экспериментальными данными.

В геометрии, в отличие от многих наук, не существует всеми принятого единого набора аксиом – в разных учебниках можно встретить различные наборы аксиом – но результаты получаются те же самые. Меняется только распределение фактов между аксиомами и теоремами: т.е. что берется без доказательства, а что доказывается.

Обозначения: точки обозначают большими буквами латинского алфавита, прямые – маленькими буквами латинского алфавита, плоскости обычно обозначают малыми буквами греческого алфавита.

Аксиомы стереометрии

Сформулируем те аксиомы, на которых будем строить наш курс.

Аксиома 1 (аксиома плоскости). В пространстве существуют плоскости. Через каждые три точки пространства проходит плоскость.

Вторую часть аксиомы плоскости можно выразить еще и так: через каждые три точки можно провести плоскость – или так: любые три точки лежат в одной плоскости.

Обратите внимание, что в аксиоме 1 говорится «существуют плоскости», т. е. что плоскостей в пространстве больше одной.

Аксиома 2 (аксиома пересечения плоскостей). Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть их общая прямая.

Замечание. То, что пересечение двух плоскостей есть их общая прямая, означает, что она является прямой как на одной, так и на другой плоскости. Кроме того, у этих плоскостей нет общих точек вне их общей прямой.

Две плоскости, имеющие общую точку (и тем самым общую прямую), называются пересекающимися плоскостями.

Аксиома 3 (аксиома принадлежности прямой плоскости). Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Другими словами, если две точки данной прямой принадлежат данной плоскости, то прямая содержится в этой плоскости.

Из этой аксиомы следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.

Прямая и плоскость, имеющие единственную общую точку, называются пересекающимися.

Аксиома 4 (аксиома планиметрии). На любой плоскости выполняется планиметрия.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: