Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Теорема 7.1. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Доказательство. Пусть – прямая, перпендикулярная прямым и в плоскости . Причем прямая проходит через точку А пересечения прямых и . Докажем, что .

Проведем произвольную прямую через точку А в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой . Проведем в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые , и . Пусть точками пересечения будут В, С и X.

Отложим на прямой от точки А в разные стороны равные отрезки и . Треугольник равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению. По той же причине треугольник тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники и равны по трем сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство углов и и, следовательно, равенство треугольников и по двум сторонам и углу между ними. Из равенства сторон и этих треугольников заключаем, что треугольник равнобедренный. Поэтому его медиана является также высотой. А это и значит, что произвольная прямая перпендикулярна , значит по определению .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: