Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Включение индуктивности на синусоидальное напряжение




Если в схеме (см. рис.1.2) источник постоянной э.д.с. заменить источником синусоидальной э.д.с. (e = Emsin(w t + y), то можно записать аналогичное уравнение:

. (1.20)

Это неоднородное уравнение первого прядка с тем же характеристическим уравнением с соответствующим корнем. Поэтому решение полученного уравнения можно записать по аналогии:

i = iпр + Aea t . (1.21)

Однако определение принужденного режима и постоянной интегрирования несколько отличается. Принужденное значение рассчитывается так же как в цепи переменного синусоидального тока. В комплексной форме можно записать:

. (1.22)

В синусоидальной форме

iпр =Iпр m sin(w t +y φ) . (1.23)

При t = 0 i (0) = 0. Поэтому

0 = Iпр m sin(y φ) + Aeja 0 , (1.24)

A = – Iпр m sin(y φ) . (1.25)

Окончательно, закон изменения тока будет иметь следующий вид:

i = Iпр m sin(w t +y φ) – Iпр m sin(y φ) eja t . (1.26)

Напряжение на индуктивности равно

. (1.27)

Правильность полученных выражений можно проверить, вычислив значения тока и напряжения в начальный момент времени, и сравнив полученные значения с начальными условиями. При t = 0 выражение для тока дает ноль, выражение для напряжения после некоторых преобразований дает uL(0) = Umsin y . Так как в момент включения ток равен нулю, все напряжение источника прикладывается к индуктивности. Кривая тока вместе с составляющими приведена на рис.1.6, а. Она показывает, что по мере затухания свободной составляющей переходный ток стремится к своему установившемуся значению. Однако в начале переходного процесса амплитуда тока превышает амплитуду установившегося значения, что зачастую приводит к ложным срабатываниям релейной защиты. Здесь возможны два крайних случая – свободная составляющая равна нулю, и свободная составляющая максимальна.

Переходный процесс отсутствует, если свободная составляющая равна нулю. При этом sin (y - j) = 0, из чего следует, что y = j. Это значит, качество переходного процесса зависит от момента коммутации. Если включить рубильник в момент перехода ожидаемого тока через ноль, то переходного процесса не будет.

Если sin (y - j) = 1, то свободная составляющая максимальна (рис.1.6, в).

 

 

1.6. Включение цепи R, L, C на постоянное напряжение

 

Рассмотрим схему (рис. 1.7). Здесь имеется два накопителя энергии – индуктивность и емкость. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для послекоммутационной цепи:

 

iR + иа + иа = Е . (1.28)

Имея в виду, что

, и , ,

получаем

, (1.29)

или

. (1.30)

Это есть дифференциальное уравнение второго порядка относительно напряжения на конденсаторе с правой частью. Решение этого уравнения так же состоит из принужденной и свободной составляющей:

uc = ucпр + ucсв .

Принужденная составляющая может быть найдена из дифференциального уравнения путем приравнивая нулю производных. Таким образом, получаем

ucпр = Е.

Свободная составляющая определяется из дифференциального уравнения без правой части в виде :

, (1.31)

где А1 , А2 – постоянные интегрирования;

a1, a2 – корни характеристического уравнения.

Запишем характеристическое уравнение:

. (1.32)

Введем обозначения: , . Тогда

, (1.33)

откуда .

Возможны три случая при нахождении корней характеристического уравнения:

1) , тогда корни будут вещественны, отрицательны и различны;

2) , тогда корни будут вещественны, отрицательны и одинаковы;

3) , корни сопряжено комплексные с отрицательной вещественной частью.

В первом случае будет апериодический переходный процесс, в третьем –

колебательный. Второй случай характеризует граничный режим, т.е. лежит между апериодическим и колебательным процессом.

Рассмотрим апериодический процесс, при котором корни вещественные, отрицательные и разные. Тогда

. (1.34)

Постоянные интегрирования определяются с учетом начальных условий. Здесь требуется два начальных условия, так как в уравнении два неизвестных А1 и А2. Одно начальное условие определяется по закону коммутации и называется основным. Напряжение на конденсаторе перед коммутацией было равно нулю:

.

Ток в индуктивности равен нулю, так как цепь была разомкнута:

iL (0) = 0.

Для определения двух постоянных интегрирования нужно еще одно уравнение. Возьмем производную от первого уравнения:

. (1.35)

Определим значение производной в первый момент времени после коммутации по зависимости тока и напряжения на конденсаторе . Ток в емкости равен току в индуктивности, поэтому

.

Запишем уравнения (1.34), (1.35) для момента времени t=0 :

Решение этой системы имеет вид:

, (1.36)

. (1.37)

Подставим полученные значения постоянных в уравнение (1.34) и после небольших преобразований получим:

. (1.38)

Или

. (1.39)

Последнее выражение показывает, что закон изменения напряжения на конденсаторе после коммутации состоит из постоянной составляющей и двух экспоненциальных функций с постоянными времени

.

Ток в емкости определяется через производную:

. (1.40)

По теореме Виета

.

Тогда

, (1.41)

. (1.42)

1.7. Построение графиков зависимостей

Определим значения функций в крайних точках.


t = 0

i (0) = 0

uc (0) = 0

uL (0) = E

t =

i пр = 0

uc пр = Е

uL пр = 0


Кривая тока в начальный момент и в конце процесса равен нулю. При этом в начале процесса производная тока не равна нулю, так как

.

В середине процесса ток имеет максимум, совпадающий с переходом напряжения на индуктивности через нуль (t = t1).

Скорость изменения напряжения на конденсаторе в начале процесса равна нулю

.

Это значит, кривая изменения напряжения на конденсаторе имеет точку перегиба в точке перехода напряжения на индуктивности через нуль, так как в этой точке

В интервале времени до t1 ток возрастает, а индуктивность препятствует этому и напряжение на нем имеет положительное направление. После этого момента ток начинает уменьшаться и напряжение на индуктивности меняет свой знак. Отрицательный максимум напряжения совпадает с точкой перегиба кривой тока (t = t2)

.

Кривые изменений тока, напряжения на емкости и индуктивности изображены на рис. 1.8 .

Рис. 1.8

Рассмотрим случай колебательного процесса. Здесь , или

и . (1.43)

Преобразуем выражение для корней:

.

Введем обозначение . Тогда

Для нахождения законов изменения при комплексно сопряженных корнях необходимо обратится к формулам Эйлера:

Из этих формул вытекает следующее:

, .

Преобразуем выражение для тока с использованием формулы Эйлера:

 

Итак

. (1.46)

Аналогичным способом можно определить другие законы изменения. Имеется всего три конструкции, которые дают формулы перехода к колебательным функциям.

, (1.47)

, (1.48)

, (1.49)

где ;

;

 

С учетом изложенного выше, можно записать окончательно:

, (1.50)

, (1.51)

. (1.52)

Это затухающие синусоиды, графическое изображение которых приведено на рис. 1.9.

Рис. 1.9

В зависимости от параметров цепей синусоиды могут быть различными (рис. 1.10, а. б ) Такие затухающие синусоиды характеризуют с помощью декремента колебания. Декремент – отношение двух соседних максимумов кривой (см. рис. 1.9).

 

 
 

 

 

а)

 
 

 

 

б )

Рис. 1.10

 

. (1.53)

Но , тогда

. (1.54)

Величина называется логарифмическим декрементом колебания




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2019 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных