Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла.

Введение

Интеграл - одно из главных понятий математического анализа и всей математики в целом, поскольку с одной стороны, он позволяет отыскивать функции по ее производной (напр., с задачей об отыскании закона движения материальной точки вдоль прямой по известной скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т.п.

В зависимости от поставленной задачи, различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x) на конечном отрезке [ a, b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке.

В курсовой работе описаны свойства определенного интеграла, методы и примеры решения задач с его использованием.
Постановка задачи

Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и многого другого сводится к вычислению определенного интеграла.

Рисунок 1 и Рисунок 2

Пусть на отрезке задана непрерывная функция (рис. 210 и 211). Обозначим через и ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Разобьем отрезок на частей точками деления причем , и положим . Обозначим, далее, наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке через и , на отрезке через и ,…, на отрезке через и . Составим суммы

(1)

(2)

Сумму называют нижней интегральной суммой, а сумму -верхней интегральной суммой.

Если , то нижняя интегральная сумма численно равняется площади «вписанной ступенчатой фигуры» ограниченной «вписанной» ломаной, верхняя интегральная сумма численно равняется площади «описанной ступенчатой фигуры»

ограниченной «описанной» ломаной.

Отметим некоторые свойства верхних и нижних интегральных сумм.

а) Так как для любого то на основании формул (1) и (2) имеем

(3)

(Знак равенства будет только в случае, если

б) Так как где - наименьшее значение на , то

Итак,

(4)

в) Так как где - наибольшее значение на , то

(5)

Соединяя вместе полученные неравенства, имеем

(6)

Если то последнее неравенство имеет простой геометрический смысл (рис.212), так как произведения и соответсвенно численно равны площадям «вписанного» прямоугольника и «описанного» прямоугольника

Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла.

В каждом из отрезков …, возьмем по точке, которые обозначим …, (рис.213): …, В каждой из этих точек вычислим значение функции , , …, . Составим сумму

(1)

Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке Так как произвольном , принадлежащем отрезку будет и все то следовательно, или

(2)

Геометрический смысл последнего неравенства при состоит в том, что фигура, площадь которой равна ограничена ломаной, заключенной между «вписанной» ломаной и «описанной» ломаной.
Сумма зависит от способа разделения отрезка на отрезки и от выбора точек внутри полуающихся отрезков.
Обозначим теперь через наибольшую из длин отрезков …, . Рассмотрим различные разбиения отрезка на отрезки , такие, что . Очевидно, что при этом число отрезков в разбиении стремится к бесконечности. Для каждого разбиения, выбрав соответствующие значения , можно составить интегральную сумму

(3)

Рассмотрим некоторую последовательность разбиений, при которых при этом При каждом разбиении выбираем значения Предположим, что эта последовательность интегральных сумм*) стремится к некоторому пределу

(4)

Теперь мы можем сформулировать следующее

Определение 1. Если при любых разбиениях отрезка таких, что и при любом выборе точек на отрезках интегральная сумма

(5)

Стремится к одному и тому же пределу , то этот предел называют определенным интегралом от функции на отрезке и обозначают

.

Таким образом, по определению

(6)

Число называется нижним пределом интеграла, - верхним пределом интеграла. Отрезок называется отрезком интегрирования, - переменной интегрирования.

Определение 2. Если для функции предел (6) существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке .

Заметим, что нижняя интегральная сумма и верхняя интегральная сумма являются частными случаями интегральной суммы (5), поэтому если интегрируема, то нижняя и верхняя интегральные суммы стремятся к тому же пределу , и потому на основании равенства (6) можем написать

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: