Основные свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Постоянный множитель можно не выносить знак определенного интеграла: если то

(1)

Доказательство.

Свойство 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых. Так, в случае двух слагаемых

(2)

Доказательство.

Доказательство проводится аналогично для любого числа слагаемых.

Свойства 1 и 2, хотя и доказаны только для случая остаются в силе и при .

Однако следующее свойство справедливо при

Свойство 3. Если на отрезке где функции и удовлетворяют условию , то

(3)

Доказательство. Рассмотрим разность

Здесь каждая разность Следовательно, каждое слагаемое суммы неотрицательно, неотрицательна вся сумма и неорицателен ее предел, т.е. или откуда следует неравенство (3).

Если и то указанное свойство наглядно иллюстрируется геометрически (рис.217).

Так как то площадь криволинейной трапеции не больше площади криволинейной трапеции .

Свойство 4. Если и - наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке и то

(4).

Доказательство. По условию

На основании свойства (3) имеем

(4^’)

Но

Подставляя эти выражения в (4^’), получим неравенство (4).

Если то это свойство легко иллюстрируется геометрически (рис.218)

: площадь криволинейной трапеции содержится между площадями прямоугольников и .

Свойство 5 (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке найдется такая точка что справедливо следующее равенство:

(5)

Доказательство. Пусть для определенности Если и суть соответственно наименьшее и набольшее значения

на отрезке , то в силу формулы (4)

Отсюда

где

Так как непрерывна на отрезке , то она принимает все промежуточные значения, заключенные между и . Следовательно, при некотором значении будет т.е.

Свойство 6. Для любых трех чисел справедливо равенство

(6)

если только все эти три интеграла существуют.

Доказательство. Предположим сначала, что и

Составим интегральную сумму для функции на отрезке .

Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка на части, то мы будем разбивать отрезок на малые отрезки так, чтобы точка была точкой деления.

Разобьем далее интегральную сумму соответствующую отрезку , на две суммы: сумму соответствующую отрезку , и сумму соответствующую отрезку .

Тогда

Переходя в последнем равенстве к пределу при получим соотношение (6).

Если то на основании доказанного можем написать

или но на основании формулы (4) § 2 имеем поэтому

Аналогичным образом доказывается это свойство при любом другом расположении точек и .

На рис. 219 дана геометрическая иллюстрация свойства 6 для того случая, когда и площадь трапеции равна сумме площадей трапеций и

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: