Двоичная система счисления.

Основание этой системы счисления (p) равно двум. В этой системе счисления используется всего две цифры. Чтобы не выдумывать новых символов для обозначения цифр, в двоичной системе счисления были использованы символы десятичных цифр 0 и 1. Для того чтобы не спутать систему счисления в записи числа используется индекс 2. Если же кроме двоичной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то этот индекс можно опустить.

Число в двоичной системе счисления записывается как сумма единиц, двоек, четвёрок, восьмёрок и так далее. Это означает, что веса соседних разрядов различаются ровно в два раза. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как половины, четверти или восьмые доли единицы.

Рассмотрим пример записи двоичного числа:

A ₂ =101110,101₂ = 1*2 ⁵ + 0*2 ⁴ +1*2 ³ +1*2 ² +1*2 ¹ +0*2 ⁰+1*2^-1+

+0*2 ^-2+1*2 ^-3 = 32₁₀ + 8₁₀ + 4₁₀ + 2₁₀ + 0,5₁₀ + 0,125₁₀ = 46,625₁₀

При записи во второй строке примера десятичных эквивалентов двоичных разрядов мы не стали записывать степени двойки, которые умножаются на ноль, так как это привело бы только к загромождению формулы и, как следствие, затруднению понимания материала.

Недостатком двоичной системы счисления можно считать большое количество разрядов, требующихся для записи чисел. В качестве преимущества этой системы счисления можно назвать простоту выполнения арифметических действий. Приведём правила операций сложения и умножения в двоичной системе счисления:

0 + 0 = 0 0 * 0 = 0

0 + 1 = 1 0 * 1 = 0

1 + 0 = 1 1 * 0 = 0

1 + 1 = 10 1 * 1 = 1

Ну, как? Вспомнили, сколько усилий вы прикладывали в школе для того, чтобы выучить таблицу умножения. Как всё просто было бы в двоичной системе счисления! А теперь попробуем выполнить несколько операций в двоичной системе счисления. В качестве примера возьмём десятичные числа 5₁₀ и 3,5₁₀. Сначала преобразуем их в двоичную форму:

A = 5₁₀ = 101₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 4₁₀ + 1₁₀

B =3,5₁₀ = 11,1₂ = 1*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 = 2₁₀ + 1₁₀ + 0,5₁₀

Затем выполним суммирование этих чисел в двоичной системе счисления. Суммирование будем выполнять в "столбик". Так будет легче понять производимые арифметические действия:

При суммировании единичных разрядов возникает перенос в разряд двоек. В свою очередь суммирование двоек и переноса из предыдущего разряда создает перенос в разряд четвёрок. Точно такая же ситуация и в разряде четвёрок. А теперь для проверки переведём получившийся результат в десятичную форму:

1000,1₂ = 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ + 1*2^-1 = 8₁₀ + 0,5₁₀ = 8,5₁₀

Как видно из получившегося числа, результат сложения совершенно одинаков. То есть при выполнении суммирования в двоичной системе счисления ошибки не произошло. Теперь выполним операцию двоичного вычитания. Вычтем из числа 5₁₀ число 3,5₁₀. В результате выполнения операции мы ожидаем получить десятичное число 1,5.

При вычитании разряда половинок сразу же возникает необходимость заёма из старшего разряда. Если из единицы вычесть число 0,5, то в качестве результата получим тоже половину единичного разряда. Записываем на место половинок единицу. Аналогичная ситуация после заёма единицы возникает и в разряде единиц. Придётся занять двойку. В результате операции вычитания на месте единиц тоже записываем единицу. В разряде двоек вычитаем из единицы единицу. В результирующее число на место двоек записываем ноль. В разряде четвёрок после заёма остался ноль. В результате вычитания нуля из нуля получаем ноль. Его и запишем на место четвёрок. Ну а теперь проверим, что же мы получили. Для этого преобразуем число из двоичной формы в десятичную:

001,1₂ = 1*2⁰ + 1*2^-1 = 8₁₀ + 0,5₁₀ = 1,5₁₀

Следующей рассмотрим операцию двоичного умножения. Умножать будем те же самые числа (5₁₀ и 3,5₁₀). В результате операции умножения ожидаем получить число 17,5₁₀. Умножение произведём в "столбик". Умножение в "столбик" в двоичной системе выполняется точно так же как и в десятичной системе счисления.

Первое частичное произведение образуется при умножении младшего разряда множителя на множимое. В этом разряде записана единица. То есть в качестве частного произведения просто записываем сам множитель. Во втором разряде множителя записан ноль. То есть в результате умножения получаем нулевое значение. Его сдвигаем на один двоичный разряд (как в десятичной системе счисления). Третье частичное произведение, как и первое, будет равно множимому. Его сдвигаем на два двоичных разряда. В конце операции умножения, как и в десятичной системе счисления, суммируем все частичные произведения.

Снова проверяем полученный результат. Для этого, как и в предыдущем случае, преобразуем число из двоичной формы в десятичную:

10001,1₂ = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1

= 16₁₀ + 1₁₀ + 0,5₁₀ = 17,5₁₀

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: