КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2

6 Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными параболами .

Решение.

Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

.

Отсюда

.

у

–1 0 1 х

Площадь вычислим по формуле

,

где , – кривые, ограничивающие фигуру ().

В нашем случае

(ед³).

7. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой , прямой и осью Ох.

Решение.

Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого решим уравнение

,

,

.

Первому квадранту соответствует корень .

Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох, решив уравнение , откуда .

Таким образом, можно считать, что тело вращения ограничено при поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси Ох, а при – вращением прямой .

у

0 2 х

Объем ищем по формуле

.

.

Для вычисления второго интеграла используем подстановку . Тогда и .

Отсюда

(ед³).

8. Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.

а) ; б) .

Решение.

а) Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив левую и правую части уравнения на выражение (при ), приходим к равенству

.

Интегрируя, получим

или

,

так как интеграл в правой части табличный, а интеграл в левой части найдем заменой переменной:

.

– общий интеграл дифференциального уравнения.

б) Данное уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными. Представим производную в виде отношения дифференциалов и умножим обе части уравнения на :

Теперь разделим обе части равенства на множитель :

.

Интегрируем обе части равенства:

Интегралы в левой и правой частях равенства найдем заменой переменной

Константу в правой части равенства возьмем в виде , получаем:

.

Используя свойство логарифмов , имеем:

.

Потенцируя, получим общее решение уравнения: .

9. 1) Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

а) , б) ,

в) , г) .

2) Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , удовлетворяющее указанным начальным условиям .

Решение.

1) Линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами ставится в соответствие характеристическое уравнение:

,

где – переменная.

1. Если характеристическое уравнение имеет действительные корни и , причем , то общее решение уравнения имеет вид:

.

2. Если характеристическое уравнение имеет два совпадающих корня , то общее решение уравнения имеет вид:

.

3. Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни , то общее решение уравнения имеет вид:

.

а) . Составляем характеристическое уравнение . Корнями этого уравнения будут и . Корни действительные и различные, тогда получаем общее решение:

.

б) . Составляем характеристическое уравнение . Решая это уравнение, получим совпадающие корни . Тогда общее решение:

.

в) . Характеристическое уравнение имеет комплексные корни:

Отсюда и общее решение:

.

г) . Решаем характеристическое уравнение :

Отсюда , получим общее решение:

.

2) . Составляем характеристическое уравнение . Корни этого уравнения . Так как корни действительные и совпадающие, то общее решение имеет вид:

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее условиям: . Продифференцируем общее решение:

.

Подставляя значения при в выражения для у и , получаем:

Искомое частное решение:

.

10. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Общий член ряда . Для исследования ряда на сходимость применим признак Даламбера:

.

Таким образом, при , то есть при исходный ряд сходится абсолютно.

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала сходимости. При заданный ряд принимает вид

.

Это числовой знакочередующийся ряд. Его общий член по абсолютной величине монотонно убывает и стремится к нулю при . Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены и ряд сходится, то есть точка принадлежит области сходимости заданного степенного ряда.

При исходный ряд принимает вид

.

Это числовой знакоположительный ряд, который расходится (сравните его с гармоническим рядом . Следовательно, точка не принадлежит области сходимости заданного степенного ряда.

Таким образом, область сходимости исходного степенного ряда . Вне этого интервала ряд расходится.

11. Дана функция двух переменных . Найти:

1) экстремум функции ;

2) в точке А (1; –2);

3) наибольшую скорость возрастания точке А (1; –2).

Решение. 1) Для отыскания экстремума функции предварительно найдем частные производные первого и второго порядка:

Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

Решением системы является точка М (–4; 1). Точка М (–4; 1) называется подозрительной на экстремум. Найдем частные производные второго порядка в точке М:

Из них составим определитель второго порядка

Так как , то в точке М (–4; 1) есть экстремум. Производная , а, значит, это точка минимума функции.

2) Градиент функции найдем по формуле:

,

и были найдены в пункте 1.

.

Градиент функции в точке А (1; –2):

.

3) Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента:

.

12. Дан интеграл . Требуется построить на плоскости хОу область интегрирования D и вычислить площадь области D при помощи данного интеграла.

Решение. Пределы внешнего интеграла по переменной х – числа 1 и 3 – указывают на то, что область D ограничена слева прямой и справа прямой .

Пределы внутреннего интеграла по переменной у указывают на то, что область D ограничена снизу параболой и сверху прямой . Построив эти линии на отрезке , получим область D (рисунок 12.1).

у

5 В

1 А

0 1 3 х

Рисунок 12.1

Вычислим площадь области D при заданном порядке интегрирования:

13. Вероятность того, что семя злака прорастет, равна 0,6. Найти вероятность того, что из 150 посеянных семян прорастет ровно 102 семени.

Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, а число п достаточно велико, то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно раз, вычисляется приближенно по формуле, которая выражает локальную теорему Лапласа:

, где .

Значения функции даны в таблице 1 приложения. Для значений считают . Если , то , так как эта функция четная.

По условию задачи . Вычислим х:

.

По таблице значений функции находим . Тогда искомая вероятность равна

.

14. Измерены диаметры для 60 деталей, обрабатываемых на некотором станке. Данные замеров приведены в таблице 1.

Таблица 1

Выполнить статистическую обработку результатов измерений по следующему плану:

1) Построить статистическое распределение выборки.

2) Выполнить точечные оценки среднего значения и дисперсии случайной величины .

3) Построить гистограмму относительных частот, установив статистический (эмпирический закон распределения).

4) На том же чертеже построить кривую нормального распределения с параметрами и и проанализировать, хорошо ли статистические данные описываются нормальным законом распределения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: