ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №26 Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными параболами . Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений: . Отсюда . у
–1 0 1 х
Площадь вычислим по формуле , где , – кривые, ограничивающие фигуру (). В нашем случае (ед3).
7. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой , прямой и осью Ох. Решение. Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого решим уравнение , , . Первому квадранту соответствует корень . Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох, решив уравнение , откуда . Таким образом, можно считать, что тело вращения ограничено при поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси Ох, а при – вращением прямой .
у
0 2 х
Объем ищем по формуле . . Для вычисления второго интеграла используем подстановку . Тогда и . Отсюда (ед3).
8. Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.
а) ; б) . Решение. а) Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив левую и правую части уравнения на выражение (при ), приходим к равенству . Интегрируя, получим или , так как интеграл в правой части табличный, а интеграл в левой части найдем заменой переменной: . – общий интеграл дифференциального уравнения.
б) Данное уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными. Представим производную в виде отношения дифференциалов и умножим обе части уравнения на :
Теперь разделим обе части равенства на множитель : . Интегрируем обе части равенства: Интегралы в левой и правой частях равенства найдем заменой переменной Константу в правой части равенства возьмем в виде , получаем: . Используя свойство логарифмов , имеем: . Потенцируя, получим общее решение уравнения: . 9. 1) Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. а) , б) , в) , г) .
2) Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , удовлетворяющее указанным начальным условиям .
Решение. 1) Линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами ставится в соответствие характеристическое уравнение: , где – переменная. 1. Если характеристическое уравнение имеет действительные корни и , причем , то общее решение уравнения имеет вид: . 2. Если характеристическое уравнение имеет два совпадающих корня , то общее решение уравнения имеет вид: . 3. Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни , то общее решение уравнения имеет вид: . а) . Составляем характеристическое уравнение . Корнями этого уравнения будут и . Корни действительные и различные, тогда получаем общее решение: . б) . Составляем характеристическое уравнение . Решая это уравнение, получим совпадающие корни . Тогда общее решение: .
в) . Характеристическое уравнение имеет комплексные корни: Отсюда и общее решение: .
г) . Решаем характеристическое уравнение : Отсюда , получим общее решение: .
2) . Составляем характеристическое уравнение . Корни этого уравнения . Так как корни действительные и совпадающие, то общее решение имеет вид: . Найдем частное решение, удовлетворяющее условиям: . Продифференцируем общее решение: . Подставляя значения при в выражения для у и , получаем: Искомое частное решение: .
10. Найти область сходимости степенного ряда . Решение. Общий член ряда . Для исследования ряда на сходимость применим признак Даламбера: . Таким образом, при , то есть при исходный ряд сходится абсолютно. Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала сходимости. При заданный ряд принимает вид . Это числовой знакочередующийся ряд. Его общий член по абсолютной величине монотонно убывает и стремится к нулю при . Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены и ряд сходится, то есть точка принадлежит области сходимости заданного степенного ряда. При исходный ряд принимает вид . Это числовой знакоположительный ряд, который расходится (сравните его с гармоническим рядом . Следовательно, точка не принадлежит области сходимости заданного степенного ряда. Таким образом, область сходимости исходного степенного ряда . Вне этого интервала ряд расходится.
11. Дана функция двух переменных . Найти: 1) экстремум функции ; 2) в точке А (1; –2); 3) наибольшую скорость возрастания точке А (1; –2). Решение. 1) Для отыскания экстремума функции предварительно найдем частные производные первого и второго порядка: Приравняем их к нулю и решим систему уравнений: Решением системы является точка М (–4; 1). Точка М (–4; 1) называется подозрительной на экстремум. Найдем частные производные второго порядка в точке М: Из них составим определитель второго порядка Так как , то в точке М (–4; 1) есть экстремум. Производная , а, значит, это точка минимума функции. 2) Градиент функции найдем по формуле: , и были найдены в пункте 1. . Градиент функции в точке А (1; –2): . 3) Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента: .
12. Дан интеграл . Требуется построить на плоскости хОу область интегрирования D и вычислить площадь области D при помощи данного интеграла. Решение. Пределы внешнего интеграла по переменной х – числа 1 и 3 – указывают на то, что область D ограничена слева прямой и справа прямой . Пределы внутреннего интеграла по переменной у указывают на то, что область D ограничена снизу параболой и сверху прямой . Построив эти линии на отрезке , получим область D (рисунок 12.1). у
5 В
1 А
0 1 3 х Рисунок 12.1 Вычислим площадь области D при заданном порядке интегрирования:
13. Вероятность того, что семя злака прорастет, равна 0,6. Найти вероятность того, что из 150 посеянных семян прорастет ровно 102 семени. Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, а число п достаточно велико, то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно раз, вычисляется приближенно по формуле, которая выражает локальную теорему Лапласа: , где . Значения функции даны в таблице 1 приложения. Для значений считают . Если , то , так как эта функция четная. По условию задачи . Вычислим х: . По таблице значений функции находим . Тогда искомая вероятность равна .
14. Измерены диаметры для 60 деталей, обрабатываемых на некотором станке. Данные замеров приведены в таблице 1. Таблица 1
Выполнить статистическую обработку результатов измерений по следующему плану: 1) Построить статистическое распределение выборки. 2) Выполнить точечные оценки среднего значения и дисперсии случайной величины . 3) Построить гистограмму относительных частот, установив статистический (эмпирический закон распределения). 4) На том же чертеже построить кривую нормального распределения с параметрами и и проанализировать, хорошо ли статистические данные описываются нормальным законом распределения. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|