РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Приведенные ниже разложения принято называть основными, так как на базе этих разложений можно, используя различные приемы, получать разложения в ряды Маклорена и Тейлора многих других функций.

Основные разложения по степеням t имеют вид:

· , где , или ;

· , где , или ;

· , где , или ;

· , где , или ;

·

где при ; при ; при ; при ; полученный ряд принято называть биномиальным;

· , где , или ;

· , где , или .

Напомним, что ; при этом ; а – множество натуральных чисел.

МЕТОДИКА РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯДЫ ТЕЙЛОРА ИЛИ МАКЛОРЕНА

1) Построить степенной ряд для данной функции (т.е. ряд Тейлора или Маклорена);

2) Найти область сходимости полученного ряда, т.е. найти интервал сходимости и исследовать на сходимость ряд в концах этого интервала.

При разложении функции в ряд Тейлора или Маклорена, учитывая конкретное выражение, целесообразно сочетать разные приемы:

1)использование основных разложений по степеням ;

2)замену переменной;

3)арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов; в первых трех случаях вновь полученный ряд сходится на пересечении областей сходимости рассматриваемых рядов. В случае деления вопрос решается изучением области сходимости полученного ряда;

4)поэлементное дифференцирование и интегрирование степенных рядов; при этом интервалы сходимости степенных рядов не меняются;

5)разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших (элементарных) дробей.

Пример 1. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .

1-й способ решения. Используем общую формулу: .

Выведем формулу для общего коэффициента ряда: .

.

Тогда ряд Тейлора имеет вид: .

Можно доказать, что этот степенной ряд сходится при .

2-й способ решения. Сделаем замену: Тогда задача сводится к разложению по степеням t, которое является одним из основных разложений:

при .

Возвращаемся к исходной переменной х и получаем прежний ответ:

при .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: