Приближенное вычисление определенных интегралов

Этот прием используется, как правило, для «неберущихся» интегралов, т.е. когда первообразная не выражается в элементарных функциях. При этом подынтегральную функцию раскладывают в степенной ряд. Интегрируя его в указанных пределах, получают сходящийся числовой ряд. Его сумма дает точное значение интеграла, а его частичная сумма – приближенное значение с некоторой погрешностью. Оценка погрешности осуществляется аналогично п.7.3.2.

Для решения задачи о приближенном вычислении определенного интеграла предлагается следующая методика решения:

1) разложить в ряд Маклорена подынтегральную функцию;

2) найти область сходимости полученного ряда и проверить, что область интегрирования принадлежит области сходимости;

3) проинтегрировать степенной ряд в указанных пределах и получить числовой ряд;

4) сделать оценку погрешности, учитывая вид полученного числового ряда и вычислить конечную сумму.

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,0001.

□ 1) Предложенный для вычисления интеграл – «неберущийся». Поэтому разложим функцию в ряд Маклорена:

.

2) Найдём интервал сходимости этого ряда. Здесь ; из вида коэффициентов ясно, что следует применить признак Даламбера. Вычислим и

при любых .

Так как , то ряд сходится на промежутке , т.е. область интегрирования входит в область сходимости.

3) Вычислим

4) Нетрудно видеть, что полученный числовой ряд является рядом Лейбница. Указанная точность означает, что ошибка, т.е. модуль остатка, не превосходит 0,0001. Поскольку , , , то в качестве остатка можно взять сумму всех элементов разложения, начиная с третьего. Тогда модуль остатка не превосходит модуля третьего слагаемого (первого слагаемого остатка), т.е. ошибка не превосходит 0,0001. Поэтому значение интеграла с требуемой точностью определяется двумя первыми слагаемыми:

Заметим, что подынтегральная функция не определена в точке . Однако известно, что , поэтому интеграл не является несобственным, а представляет собой обычный определённый интеграл. ■

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: