Высказывания с кванторами. В формулировках математических предложений часто встречаются слова: «каждый», «все», «некоторые», «хотя бы один»

В формулировках математических предложений часто встречаются слова: «каждый», «все», «некоторые», «хотя бы один». Например, свойство противоположных сторон прямоугольника формулируется так: «В любом прямоугольнике противоположные стороны равны», а о свойстве натуральных чисел мы говорили, что «некоторые натуральные числа кратны 3». Выясним, каков смысл этих слов и как они используются в математике.

Если задана высказывательная форма, то, чтобы превратить ее в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в форму, подставить ее значение. Например, если на множестве N натуральных чисел задана высказывательная форма А(х) – «число х кратно 5», то, подставив в нее вместо х число 20, мы получим истинное высказывание «число 20 кратно 5». Если же в эту высказывательную форму подставить вместо х число 17, мы получим ложное высказывание «число 17 кратно 5».

Однако существуют и другие способы получения высказываний из высказывательных форм.

Если перед высказывательной формой «число х кратно 5» поставить слово «всякое», то получится предложение «всякое число х кратно 5».Относительно этого предложения можно задать вопрос, истинно оно или ложно. Значит, оно является высказыванием, причем ложным.

Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом ∀х.

Запись (∀х.) А(х) означает: «для всякого значения х предложение А(х) – истинное высказывание.». Иногда эту запись дополняют обозначением множества Х, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение можно читать:

а) для всякого х из множества Х истинно А(х);

б) всякий элемент из множества Х обладает свойством А.

Выражение «существует х такое, что…» в логике называется квантором существования по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом ∃х.

Запись (∃х) А(х) означает: «существует такое значение х, что А(х) – истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества Х, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение (∃х) А(х) можно читать:

а) существует такое х из множества Х, что истинно А(х);

б) хотя бы один элемент х из множества Х обладает свойством А.

Заметим, что в математике наряду со словом «всякий» употребляют слова «каждый», «любой», а вместо слова «существует» используют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».

Итак, если задана одноместная высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если связать квантором каждую переменную. Например, если дана высказывательная форма «х > у», то для получения высказывания надо связать квантором обе переменные: например, (∀х) (∃у) х > у или (∃х) (∃у) х > у.

Однако важно уметь не только переходить от высказывательной формы к высказыванию с помощью кванторов, но и распознавать их логическую структуру. Дело в том, что кванторы содержатся в формулировках определений, теорем и других математических предложений, хотя часто только подразумеваются. Например, в формулировке теоремы «Вертикальные углы равны» квантора в явном виде нет, но предполагается, что данное утверждение справедливо для всех вертикальных углов. Записывая коммутативное свойство сложения в виде а + b = b + а, подразумевают, что оно справедливо для любых чисел а и b.

Задача 1. Выявить логическую структуру следующих высказываний:

а) Некоторые нечетные числа делятся на 5.

б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.

в) В прямоугольнике диагонали равны.

Решение: а) (∃х∈Х) х ⋮5; б) (∀х∈ N) х(х+1) ⋮2; в) (∀х∈ Х) А(х).

Выясним теперь, как устанавливают значения истинности высказываний, содержащих кванторы.

Рассмотрим высказывание с квантором общности - (∀х∈ Х) А(х). Чтобы убедиться в истинности этого высказывания, надо показать, что множество истинности ТА высказывательной формы А(х) совпадает с множеством Х (ТА = Х). Чтобы убедиться в ложности высказывания (∀х∈ Х) А(х), достаточно показать, что ТА ≠ Х, т.е. показать, что существует такое значение х ∈ Х, при котором высказывательная форма обращается в ложное высказывание.

Задача 2. Установить, истинны или ложны следующие высказывания:

а) Для каждого х из множества {0, 1, 4} значение выражения (4 –х):(2х + 1) есть число целое.

б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.

в) Всякое натуральное число делится на 5.

Решение.

а) Путем перебора всех возможных случаев установлено, что при заданных значениях х выражение принимает целое значение, т.е. высказывание истинное.

б) Высказывание истинно.

в) Высказывание ложно. Для этого достаточно привести хотя бы один пример.

В математике говорят, что в ложности данного высказывания мы убедились, приведя контрпример.

Вообще истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Показать ложность таких высказываний можно, приведя контрпример.

Задача 3. Установить, истинны или ложны следующие высказывания:

а) Среди треугольников есть прямоугольные.

б) Некоторые прямоугольные треугольники являются равносторонними.

а) Высказывание истинное.

б) Высказывание ложное.

Вообще истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Показать ложность таких высказываний можно, проведя доказательство.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: