Структура теоремы. Виды теорем. Теорема, обратная данной.

Понятие логического следования и равносильности подводят нас к ведущему понятию математики, которое носит название ТЕОРЕМА.

Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается путем рассуждения (доказательств).

С логической точки зрения теорема представляет собой математическое предложение вида «А следует В», где А и В – высказывание формы с одной или несколькими переменными.

Первое предложение А называется условием теоремы, а В – ее заключение.

Виды теорем:

- теорема обратная данной

Попробуем в теореме «Если А, то В» переставить местами условие и заключение, получим теорему вида «Если В, то А». Полученная теорема называется обратной данной. Не всегда обратное высказывание бывает истинно.

- теорема противоположная данной

- теорема противоположная обратной

- теорема обратная противоположной

11. Теорема, противоположная данной - теорема, получающаяся путем замены условия и заключения данной исходной теоремы их отрицаниями.

Рассмотрим, например, теорему «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны». Построим предложение, обратное данному: «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это ложное высказывание, в чем легко убедиться (в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является прямоугольником).

Рассмотрим теорему «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник – равнобедренный». Это истинное предложение и потому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.

Для любой теоремы вида А В (если А, то В) можно сформулировать предложение (если не А, то не В), которое называют противоположным данному. Но это предложение также не всегда является теоремой. Например, предложение, противоположное теореме «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» будет ложным: «если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны».

В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной.

Для всякой теоремы вида А В (если А, то В) можно сформулировать предложение (если не В, то не А), которое называют обратным противоположному. Например, для теоремы «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» предложение, обратное противоположному, будет таким: «если в четырехугольнике диагонали не равны, то он не является прямоугольником». Это, как известно, предложение истинное, и, следовательно, является теоремой, обратно противоположной данной.

Вообще, для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение, обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому что имеется следующая равносильность: (А В) ( ).

Эту равносильность называют законом контрапозиции.

Теоремы А В и В А – взаимообратные, а А В и – взаимопротивоположные.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: