Простые и составные натуральные числа

Если одно из натуральных чисел делится на другое без остатка, то первое число называется кратным второго, а второе – делителем первого.

Например: 14: 7=2, 14 – кратное числа 7, а 7 – делитель числа 14;

14 – кратное числа 2, а 2 – делитель числа 14.

Число a называется простым, если его делителями является только 1 и само число a. Например: 2, 3, 5, 13, 29,…

Число a, имеющее более двух натуральных делителей (кроме 1 и a) называется составным. Например: 4, 6, 15,…

Число 1 – ни простое, ни составное.

Основная теорема арифметики. Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел или их степеней

Например: 110= 2 · 5 · 11;

12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3;

525 = 3 · 5 · 5 · 7 = 3 · 5² · 7.

Наибольший общий делитель (НОД)

Число, на которое делится каждое из данных чисел, называется общим делителем этих чисел.

Самый больший из общих делителей данных чисел называется их наибольшим общим делителем.

Например: найти НОД чисел 126; 540; 630.

Разложим эти числа на простые множители:

126= 2·3·3 ·7; 540=2· 2·3·3· 3·5; 630= 2·3·3 ·5·7.

Найдем наибольший общий делитель 2·3·3=18.

НОД(126, 540, 630)=18.

Таким образом, чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно разложить их на простые множители, выписать их общие простые множители и перемножить.

Если наибольший общий делитель чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми.

Например: 16 и 25; НОД(16;25)=1, т.к. 16 = 2·2·2·2, 25 = 5·5.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Число, которое делится на каждое из данных чисел, называется общим кратным этих чисел.

Самое меньшее из общих кратных данных чисел называется их наименьшим общим делителем.

Например: найти НОК чисел 63; 280; 150.

Разложим эти числа на простые множители:

63= 3·3 ·7; 280= 2·2·2·5·7; 150=2·3·5· 5.

Найдем наименьшее общее кратное 2·2·2·3·3·5·5·7=12600.

НОК(63;280;150)=12600.

Таким образом, чтобы найти НОК нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители, из большего числа выписывают все множители и к ним приписывают недостающие множители из разложений остальных чисел.

Если числа взаимно простые, то их произведение и есть НОК.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: