Расчет электрической цепи постоянного тока.

Метод обратных матриц. Пусть необходимо рассчитать электрическую цепь постоянного тока, схема которой представлена на рис. 4.7. Для этого необходимо составить систему уравнений, используя 1-ый и 2-ой законы Кирхгофа. В каждое уравнение системы формально входят все токи с соответствующими коэффициентами и знаками. Для отсутствующих в ветвях и контурах схемы токов коэффициенты равны 0:

При составлении систем уравнений необходимо помнить первое условие, что число уравнений, входящих в систему, равно числу неизвестных токов. Поэтому в схеме, представленной на рис. 4.7, необходимо определить пять токов.

Рис. 4.7. Схема электрической цепи постоянного тока

Второе условие, которое требуется соблюдать, это необходимо определить число уравнений составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Как известно по первому закону Кирхгофа число уравнений равно числу узлов в схеме без одного узла, т. е. [2,14]:

, (4.1)

где – число уравнений по первому закону Кирхгофа, а – число неизвестных токов, равное числу ветвей в схеме электрической цепи.

Тогда число уравнений , которые необходимо составить по второму закону Кирхгофа, равно:

. (4.2)

Соблюдая эти условия полную систему уравнений для рассматриваемой схемы можно представить в виде:

(4.3)

С использованием понятия матрицы и матричных операций система (4.3) может быть представлена в виде матричного уравнения [15]:

, (4.4)

где – матрица коэффициентов (параметров схемы) системы уравнений (4.3), – вектор неизвестных токов, – вектор свободных членов.

Для решения матричного уравнения (4.4) запишем исходные данные для схемы рис. 4.7

Тогда матрицу коэффициентов , вектор неизвестных токов и вектор свободных членов можно записать, как

Решение системы методом обратной матрицы может быть получено

умножением правой и левой части системы уравнения на матрицу, обратную к матрице коэффициентов системы:

(4.5)

Учитывая, что произведение обратной матрицы на прямую матрицу дает единичную матрицу, получаем

. (4.6)

Таким образом, решение системы сводится к нахождению обратной

матрицы и затем вычислению произведения этой матрицы на вектор . Этот метод удобно применять в тех случаях, когда несколько раз

решается система с разными правыми частями. В этом случае достаточно

один раз вычислить обратную матрицу и затем умножать ее на разные векторы .

Для решения системы (4.3) в Excel нужно:

1. Создать новый лист и присвоить ему имя «Система».

2. В ячейке А1 ввести текст «Решение систем уравнений; обращение матрицы».

3. В ячейку В3 ввести текст . Теперь ввести матрицу коэффициентов и вектор правой части , для этого:

· в ячейку А5 ввести текст «Исходная матрица (А)»;

· в ячейки А6:E10 ввести элементы матрицы ;

· в ячейку G5 ввести текст «Правая часть (В)»;

· в ячейки G6:G10 ввести компоненты вектора правой части;

Далее необходимо обратить матрицу и умножить вектор на

обратную матрицу . Применяемая для обращения матрицы функция

МОБР, вызывают с помощью Мастера функций. Она возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.

4. Для вычисления обратной матрицы необходимо:

· в ячейку А12 ввести текст «Обратная матрица (1/А)».

· выделить ячейки А13:E17, куда будет помещена обратная матрица.

· щелкнуть по пиктограмме Мастер функций fx

Метод Крамера. Метод Крамера – это способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. В данном методе (при не равенстве нулю определителя, составленного из коэффициентов системы) значения переменных определяются следующим образом

(4.7)

Здесь в знаменателе стоит определитель матрицы коэффициентов системы. В числителе – определитель матрицы, полученной из матрицы коэффициентов путем замены i -го столбца на вектор-столбец свободных членов системы.

Для системы с n уравнениями, записанной в общем виде:

(4.8)

определитель основной матрицы и определители числителя имеют следующий вид

и т. д.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: