Мы получили замечательный результат.

Тема. Первообразная функция

Занятие 3.

На прошлом занятии мы рассматривали дифференциал функции

(1.3)

Напомним, что переменная и величина не зависят друг от друга и задаются произвольно. Была доказана теорема

Теорема 1.1. Вид формулы дифференциала функции не изменится, если аргумент функции заменить новой переменной.

. (1.7)

Таким образом формула дифференциала справедлива независимо от того является ли переменное независимым или оно есть функция другого независимого переменного.

Хорошо известно, что для всякой математической операции существует обратная к ней операция. Например, по заданной функции можно легко вычислить её дифференциал. На прошлом занятии мы решали и обратную задачу, а именно, находили функцию по заданному её дифференциалу.

Определение 3.1. Будем считать вычисление производной или дифференциала ,по заданной на интервале функции ,операцией прямого действия.

Обратной к этой операции является операция вычисления на интервале функции если на задана производная этой функции или её дифференциал .

Нахождение функции по её производной или дифференциалу является одной из важнейших задач математического анализа.

Определение 3.2. Функция называется первообразной функцией по отношению к заданной функции , если выполнены два условия:

1) определены на одном интервале ;

2) .

В математическом анализе доказан фундаментальный факт.

Теорема 3.1. Длялюбой непрерывной на интервале функции

существует на том же интервале первообразная функция .

Однако не всякую первообразную можно выразить конечной формулой через элементарные функции. Например, у элементарных функций: по теореме 3.1 первообразная имеется, но не является элементарной функцией.

Замечание. Если является первообразной функцией для непрерывной функции , , то

также является первообразной для функции , .

Теорема 3.2. Если две функции , являются первообразными к одной и той же функции , то . Здесь -произвольная постоянная.

Доказательство. Обозначим разность . По условию теоремы , . Рассмотрим два любых числа из интервала . И пусть для определённости Применим к функции на отрезке теорему Лагранжа

Теорема 3.2. доказана.

Операцию нахождения первообразной называют неопределённым

интегрированием. Неопределённый интегралобозначают математическим символом , в котором знак называют интегралом, функцию - подынтегральной функцией, дифференциальное выражение - подынтегральным выражением, а переменную - переменной интегрирования.

Из теоремы 3.2. и определения первообразной следует, что если функция на интервале является первообразной для функции ,то

(3.1)

Замечание. Если справедлива формула (3.1),то справедливы и равенства

(3.2)

Используя первообразную, можно вычислять площади плоских фигур, границы которых не являются отрезками прямых линий.

Обозначим площадь переменной трапеции через , площадь трапеции через . Тогда площадь трапеции будет равна . Площадь прямоугольника меньше площади трапеции . А площадь прямоугольника больше площади трапеции . Таким образом

Разделив полученное неравенство на , получаем

Переходя к пределу в этом неравенстве, получаем

Откуда и следовательно .

Согласно теореме 3.2 площадь , где есть некоторая первообразная

к функции . По построению . Поэтому .

Площадь всей трапеции

(3.3)

Мы получили замечательный результат.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции , отрезками прямых и отрезком оси , равна разности значений первообразной функции к функции в конечной и начальной точках отрезка .

Упражнение. Используя результат примера 1, вычислите площади криволинейных

трапеций ограниченных линиями

Ответы. 1)0,21; 2) 1; 3) 1,57;

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: