Тригонометрическая форма комплексного числа.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные,

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат Оху. Каждому комплексному числу может быть пос­тавлена в соответствие точка плоскости , причем это соответствие взаимно однознач­но (рис. 1), Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называют комплексной плоскостью, и вме­сто комплексных чисел говорят о точках комплексной плоскости.

На оси Ох расположены действительные числа: z = х + 0 = х, поэтому она называется действительной осью. На оси Оу расположены чисто мнимые числа z = 0 + уi = уi, она носит название мнимой оси.

Заметим, что представляет собой расстояние от точки z до начала координат.

С каждой точкой z связан радиус-вектор этой точки ; угол, образованный радиусом-вектором точки с осью Ох, на­зывается аргументом этой точки: , причём . Для нулевой точки z = 0 аргумент произволен. Наимень­шее по модулю значение называется главным значением его и обозначается через :

(25)

Очевидно, что комплексно-сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы:

(26)

Примеры: .

Для аргумента j из прямоугольного треугольника получаем (рис. 1):

, где (27)

Отсюда по­лучаем тригонометрическую форму комплексного числа:

(28)

где .

Для определения главного значения аргумента можно использовать формулы:

(29)

Пример. Получим тригонометрическую форму комплексного числа z = – 2 – 2 i,

используя формулы (11) и (12).

,

,

следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа z для имеет вид:

.

Действия в комплексными числами в тригонометрической форме.

1. Если , , то

(30)

при этом в ответ записываются главные значения аргумента полученного результата, заключенные в промежутке .

2. Если , , то

(31)

3. Если , , то

(32)

Это выражение называется формулой Муавра.

4. Если , , то

(33)

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений, при этом в ответ записываются главные значения аргумента полученного результата, заключенные в промежутке .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: