ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:

Изображение синусоидально изменяющихся величин комплексными числами.

⇐ Предыдущая 1 2 3 45

В предыдущем пункте мы рассмотрели, как синусоидально изменяющаяся величина может быть представлена проекцией на вертикальную ось вращающегося радиус-вектора. Каждый такой вектор может служить радиус-вектором комплексного числа, модуль которого равен длине вектора, а аргумент – углу, который составляет вектор с положительным направлением горизонтальной оси (рис.1).

Если колебательный процесс задан функцией , то длина вращающегося вектора равна , а аргумент - текущая фаза колебаний . Рассмотрим комплексное число, модуль которого равен амплитуде колебаний , а аргумент – фазе колебаний . Запишем это число в показательной форме:

. (42)

По формуле Эйлера (34):

Слагаемое представляет собой действительную часть выражения :

; (43)

а функция представляет собой мнимую часть выражения :

. (44)

Таким образом, синусоидально изменяющуюся величину можно представить как

Рассмотрим выражение:

где - временная составляющая - множитель, изменяющийся с течением времени, который «поворачивает» радиус-вектор на угол ;

- фазовый множитель;

- комплексная величина, модуль которой равен амплитуде колебаний , а аргумент равен начальной фазе.

Величина называется комплексной амплитудой синусоидальной функции . Комплексная амплитуда изображает на комплексной плоскости синусоидальную функцию а для момента времени . В некоторых источниках используют знак соответствия ():

(45)

На изображении гармонических величин комплексными числами основывается символический метод расчета линейных цепей с гармоническими токами и напряжениями. Символический метод позволяет перейти от дифференциально-интегральных уравнений, описывающих линейные цепи с переменными во времени напряжениями и токами к алгебраическим уравнениям для расчета параметров комплексной схемы замещения с постоянными напряжениями и токами, что существенно упрощяет расчёты.

Замечание. В электротехнике используют иные обозначения. Чтобы не путать мнимую единицу с силой тока, вместо буквы i используют j (читается «йот»). При этом действительную ось комплексной плоскости обозначают +1, а мнимую ось + j.

Примерный вариант и образец выполнения

Контрольной работы

Задача 1. Даны два комплексных числа . Найти , , , . Построить радиус-векторы данных чисел и результатов на комплексной плоскости.

Задача 2. Даны комплексные числа .

1) вычислить произведение и частное , используя показательную форму;

2) найти сумму (z₁+z₂) и разность (z₁-z₂) комплексных чисел;

3) найти приближённое значение суммы (z₁+z₂) и разности (z₁-z₂) с помощью геометрических построений.

Задача 3. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству:

Задача 4. Даны уравнения двух колебательных процессов:

, .

Необходимо:

1) построить графики колебаний и с их помощью найти графическим способом график суммарного колебания;

2) изобразить колебания при помощи векторов и графически найти вектор, изображающий суммарное колебание;

3) представить колебательные процессы комплексным числом в показательной форме и аналитически найти суммарное колебание;

4) сравнить полученные результаты.

Решение задачи 1.

Комплексных числа заданы в алгебраической форме. Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел в алгебраической форме производятся по формулам (21)-(24). Получаем

Построим радиус-векторы данных комплексных чисел на комплексной плоскости. С помощью геометрических построений произведём операции сложения и вычитания двух радиус-векторов (рис. 8).

Рисунок 8

Решение задачи 2.

Даны комплексные числа .

1) вычислить произведение и частное , используя показательную форму;

2) найти сумму (z₁+z₂) и разность (z₁-z₂) комплексных чисел;

3) найти приближённое значение суммы (z₁+z₂) и разности (z₁-z₂) с помощью геометрических построений.

1) Произведение и частное комплексных чисел, заданных в показательной форме вычисляем по формулам (37), (38):

2) Для нахождения суммы и разности комплексных чисел, заданных в показательной форме, необходимо перевести их в алгебраическую (15), т.к. сложение и вычитание в показательной форме не производится. Сначала, пользуясь формулой Эйлера (34), перейдём к тригонометрической форме комплексного числа. Для дальнейшего перехода к алгебраической форме вычислим значения тригонометрических функций:

Сумму и разность полученных комплексных чисел в алгебраической форме найдём по формуле (21):

Или, подсчитав приближённо,

3) Изобразим радиус-векторы данных комплексных чисел и, пользуясь правилом параллелограмма, построим вектор их суммы и вектор суммы радиус-векторов комплексных чисел и (рис. 9).

Рисунок 9

По чертежу находим действительные и мнимые части комплексных чисел z₁ и z₂ как проекции конца радиус-вектора на оси действительных (ОX) и мнимых значений (ОY):

Сравнивая с результатами, полученными в пункте 2) делаем вывод, что геометрический метод нахождения значения суммы (z₁+z₂) и разности (z₁-z₂) комплексных чисел, представленных в показательной форме даёт достаточную для оценки результата точность.

Решение задачи 3.

Рисунок 10

Так как по определению главного значения аргумента комплексного числа:

, то необходимо изобразить множество точек, удовлетворяющих неравенству

. Эти точки заключены между лучами, проходящими под углами

радиан к положительному направлению действительной оси, причём точки, лежащие на лучах также удовлетворяют данному неравенству (рис. 10).

Решение задачи 4.

1) Так как частота неизвестна, но одинакова, построим графики функций и в системе координат с горизонтальной осью ωt=х и вертикальной OY, перейдя к радианной мере значений начальной фазы: и (рис. 11).

Рисунок 11

Рисунок 12

Найдём суммарное колебание графическим сложением исходных колебаний. Для этого выберем произвольно точку

на оси ОХ, найдём ординаты

соответствующих точек каждого графика исходных колебаний, найдём сумму значений найденных ординат

и построим новую точку с координатами

- точку искомого графика

. Аналогичные действия выполним для других точек горизонтальной оси (рис.12). Соединяя полученные точки синусоидой, получаем график суммы исходных колебаний

По графику суммарного колебания определяем приближённое значение амплитуды как наибольшего значения по оси OY.

Для определения начальной фазы обращаем внимание на точки пересечения графика функции с координатными осями. Ордината точки пересечения с осью OY отрицательна, значит значение начальной фазы также отрицательно, а значит необходимо найти абсциссу ближайшей к началу координат точки пересечения графика с осью ОХ, имеющую положительное значение. Меняя знак найденному значению абсциссы определяем начальную фазу: радиан или .

или

Рисунок 13

Изобразим колебание

при помощи радиус-вектора

. Для этого в системе координат хОу построим радиус-вектор с длиной, равной 1 и под углом

в сторону положительного направления вращения векторов, то есть против направления движения часовой стрелки. Аналогично построим радиус-вектор

, соответствующий колебанию

, учитывая, что угол

откладывается в отрицательном направлении, т.е. по движению часовой стрелки (Рис.13).

Рисунок 13

Для поиска вектора

, изображающего суммарное колебание

, воспользуемся правилом параллелограмма сложения двух векторов (рис.14). По положению полученного вектора определяем амплитуду

, измерив длину получившегося вектора и начальную фазу

, измерив с помощью транспортира угол, который составляет получившийся радиус-вектор с положительным направлением оси Ох. Получаем суммарное колебание:

3) Для представления колебательных процессов комплексными числами в показательной форме воспользуемся переходом (45):

Тогда

;

Чтобы найти суммарное колебание необходимо сложить два комплексных числа. Для этого перейдём в алгебраическую форму:

;

Тогда суммарное колебание будет изображено комплексным числом

Для обратного перехода к синусоидальным функциям представим полученное комплексное число в показательной форме. Для этого вычислим значения модуля по формуле (27)

Для определения главного значения аргумента используем формулы (29). Так как комплексное число находится в IV четверти, то

Таким образом, результирующее колебание изображается комплексным числом

Тогда для получения синусоидальной функции, описывающей колебательный процесс, используем формулу (44):

или, представив начальную фазу в радианах, получаем:

4) Сравнивая полученные результаты, можем сделать вывод, что самый точный метод нахождения суммарных колебаний – использование комплексных чисел для представления синусоидальных функций. Неплохие результаты даёт использование векторной диаграммы. Работа с графиками синусоидально изменяющихся функций довольно утомительно и не даёт точных результатов.

Варианты контрольнОЙ работЫ

Каждый вариант контрольной работы для курсантов 1 курса специальности «Эксплуатация судовых энергетических установок» МГТУ содержит 4 задачи, охватывающих материал по теме «Комплексные числа. Изображение синусоидальных функций комплексными числами».

Перед выполнением каждой контрольной работы студенту необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.

Задания для всех вариантов общие; студенту следует выбрать из условия каждой задачи данные, необходимые для ее решения, в соответствии со своим вариантом. Оформление контрольных работ должно соответствовать установленным правилам и требованиям. Необходимые чертежи должны выполняться четко, с соответствующими подписями и комментариями (см. образец выполнения примерного варианта работы).

Варианты контрольной работы

Задача 1. Даны два комплексных числа и . Найти , , , . Построить радиус-векторы данных чисел и результатов на комплексной плоскости.