Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:

Показательная форма комплексного числа.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒



Из курса математики известна формула, преобразующая показательную функцию с мнимым показателем:

(34)

Данное равенство называется формулой Эйлера и будет более подробно рассмотрено в разделе математики «Функции комплексного переменного».

Если представить комплексное число в тригонометрической форме (28):

и воспользоваться формулой Эйлера (34), то получим более компактную запись:

, (35)

где .

Полученное равенство есть показательная форма комплексного числа.

Для показательной формы, как и для тригонометрической, справедливы формулы:

(36)

Так как показательная форма комплексных чисел получается напрямую из тригонометрической, то действия с комплексными числами в показательной форме будут аналогичны таковым в тригонометрической форме:

1) Если , , то (37)

2) Если , , то (38)

3) Если , то , где m – целое число (39)

4) Если , то (40)

Замечание. Формулы (36) известны из курса математики также как формулы перехода от декартовых координат точки к её полярным координатам. Поэтому модуль r и аргумент j комплексного числа z можно рассмат­ривать как полярные координаты точки z на комплексной плоскости. Поэтому показательную форму комплексного числа ещё называют полярной формой. Этот термин часто встречается в иностранной литературе.

 

При решении многих практических задач используется связь между арифметическими операциями с комплексными числами и действиями над их радиус-векторами.

Теорема 1. При сложении комплексных чисел их ради­усы-векторы складываются (по правилу параллелограмма).

 
Рисунок 3.
Действительно, если число соответствует точке с координатами , а число — точке с координатами то
Рисунок 2.
 
числу отвечает точка Так как (рис. 2) заштрихованные прямоугольные треугольники с катетами х2 и у2 равны между собой, то четырехугольник с вершинами есть парал­лелограмм. Следовательно, ради­ус-вектор точки является суммой радиусов-векторов точек и .

Теорема 2. При вычитании комплексных чисел их радиусы-векторы вычитаются.

Так как , то равен второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 3), т. е. равен разности радиусов-векторов точек и

Теорема 3. При домножении комплексного числа на множитель радиус-вектор исходного комплексного числа поворачивается на угол .

Рассмотрим произведение . По правилу действия с комплексными числами в показательной форме (37) имеем:

Таким образом, значение аргумента полученного комплексного числа представляет собой сумму , т.е. радиус-вектор, проходящий под углом к положительному направлению действительной оси перешел в радиус-вектор, проходящий под углом , при этом длина радиус-вектора осталась неизменной, что и соответствует повороту радиус-вектора на угол .

Следствие. Домножение комплексного числа на множитель i поворачивает радиус-вектор комплексного числа на 90̊ против часовой стрелки, а деление на i поворачивает радиус-вектор комплексного числа на 90̊ по часовой стрелке.

1) Представим число i в показательной форме:

,

По теореме 3 при домножении на радиус-вектор комплексного числа повернётся на 90̊ против часовой стрелки.

1) Рассмотрим деление произвольного комплексного числа z на i. Преобразуем частное:

Представим число в показательной форме:

,

По теореме 3 при домножении на радиус-вектор комплексного числа повернётся на против часовой стрелки, или, иначе, на 90̊ по часовой стрелке.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
vikidalka.ru - 2015-2025 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных