Изображение синусоидально изменяющейся величины вращающимся вектором.

Любой колебательный незатухающий процесс можно представить с помощью синусоидально изменяющейся функции времени:

, где (41)

A_m – амплитуда колебаний – наибольшее отклонение (от среднего значения) величины, совершающей гармонические колебания.

t – время.

- фаза колебаний (аргумент синусоидальной функции).

ψ - начальная фаза, представляет собой значение фазы в момент времени t = 0, то есть фаза, с которой начинаются колебания.

Период колебаний (Т) – время, которое проходит между повторением одинаковых фаз колебаний.

ω – угловая частота – число полных колебаний, совершающихся при периодическом колебательном процессе за 2π единиц времени. Угловая частота ω связана с периодом колебаний Т и частотой колебаний f зависимостью ω = 2πf = 2π/Т.

Для единообразия построений графики функций с одинаковой угловой частотой строят в системе координат с горизонтальной осью ОХ, соответствующей значениям независимой переменной и вертикальной осью OY соответствующих значений функций. Графиком функции является синусоида, растянутая или сжатая в зависимости значения амплитуды , смещённая влево на единиц, то есть точка, соответствующая началу координат, смещается в точку с координатами . При этом ордината точки пересечения полученной синусоиды с осью OY, очевидно, равна . Так как для любого угла знак синуса совпадает со знаком его аргумента, то значение начальной фазы совпадает по знаку с ординатой точки пересечения с осью OY. Этот факт помогает правильно выбрать точку пересечения с осью ОХ при определении фазы.

Рассмотрим для примера графически заданную синусоидальную функцию (рис.4). Для определения амплитуды колебаний найдём наибольшую ординату графика данной функции: очевидно, для рассматриваемого примера . Начальная фаза колебаний определяется с помощью одной из двух ближайших к началу координат точек пересечения графика функции с осью ОХ. В рассматриваемом примере ордината точки пересечения графика функции с осью OY положительна, тогда значение начальной фазы положительно, а значит точка пересечения графика функции с осью ОХ будет иметь отрицательную абсциссу. Таким образом, для определения начальной фазы выбираем точку пересечения графика функции с осью ОХ, лежащую левее начала координат и меняем знак её абсциссы. Получаем приближённое значение (рис. 4).

Для представления синусоидально изменяющейся величины (41) вращающимся вектором построим радиус-вектор , начало которого совпадает с началом координат, длина равна амплитуде А_m, а уголк горизонтальной оси равен . Это будет его исходное положение в момент начала отсчета времени t = 0 (Рис. 5а).

Из конца радиус-вектора , находящегося в начальном положении, опустим перпендикуляр на горизонтальную ось. Длина этого перпендикуляра (она же проекция вектора на ось ординат), равная , есть мгновенное значение функции a в момент времени t = 0 (Рис. 5б).

Предположим, что радиус-вектор вращается с постоянной угловой частотой ω = 2π/T = 2πf против направления движения часовой стрелки, где Т — период, f — частота вращения (частота синусоиды). Тогда один оборот вектора вокруг начала координат (поворот на 360° или 2π — в радианах) соответствует одному периоду колебаний.

В момент времени t₁ радиус-вектор будет повернут относительно начального положения на угол ωt₁; длина перпендикуляра, опущенного из его конца, будет равна A_m sin (ωt₁+ ψ).

Очевидно, длина перпендикуляра, опущенного из конца вращающегося радиус-вектора на горизонтальную ось, будет максимальной в момент времени t₂, при котором ωt₂+ ψ = π/2 = 90˚:

A_m sin (ωt₂+ ψ) = A_m sin (π/2) = А_m

Рядом с окружностью, описываемой концом вращающегося радиус-вектора, можно построить в прямоугольной системе координат график зависимости синусоидальной величины от времени t (Рис. 5б). В момент t₂ синусоидальная величина а достигает максимального значения.

Далее, по мере вращения радиус-вектора, его проекция на вертикальную ось, т.е. синусоидальная величина , оставаясь положительной, уменьшается, достигая нулевого значения в момент времени t₄, а в следующий момент времени, например t₅, мгновенное значение синусоидальной величины а получаются отрицательными, с момента t₆ снова положительными и так далее.

Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты при анализе сложной электрической цепи. Построенный для начального момента времени радиус-вектор называется векторной диаграммой синусоидального процесса.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: