Необходимость использования систем одновременных уравнений

До сих пор при изучении регрессионных зависимостей рассматривались односторонние стохастические причинные отношения между экономическими явлениями и процессами, описываемые уравнением:

. (1)

При этом мы исходили из того, что изменение зависимой переменной Y объяснялось переменными и что эти объясняющие переменные (в правой части регрессионного уравнения (1)) не коррелированны с возмущающей переменной e (это предположение нашло отражение в четвертой предпосылке МНК). И нас интересовали методы оценивания именно одного уравнения.

Однако в экономике редко можно встретить подобные односторонние стохастические причинные отношения. Чаще всего объектом статистического изучения в социально-экономических науках являются сложные системы, для описания и объяснения механизма функционирования которых недостаточно изолированных уравнений регрессии[2].

Поэтому в последние десятилетия в экономических и социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между показателями системой регрессионных уравнений, каждое из которых отображает одну из зависимостей, закономерностей изменения, свойств изучаемого сложного объекта. Система уравнений, отражающих наличие одновременных экономических связей, называется системой взаимозависимых, или одновременных уравнений [3].

Благодаря возникновению одновременных связей между экономическими явлениями выбор зависимой переменной регрессии и тем самым направление минимизации возмущающей переменной до определенной степени произвольны. Это подтверждает необходимость наряду с исходным уравнением (1) указывать другие экономические соотношения в форме функции регрессии, чтобы вскрыть многосторонние связи между переменными, их взаимозависимость. В связи с этим возникает задача спецификации и оценивания не одного уравнения регрессии, а целой системы.

Помимо регрессий в модель могут быть включены выражения, описывающие тренды развития отдельных явлений, и тождества, характеризующие балансовые увязки между переменными. В дальнейшем будем предполагать, что между переменными эконометрической модели существуют линейные соотношения, т.е. будем рассматривать линейную эконометрическую модель.

Рассмотрим примеры таких систем.

Модель 1. «Спрос – предложение»

Одна из простейших СОУ используется при моделировании спроса – предложения в рыночной экономике. В предположении, что спрос q^D и предложение q^S в момент времени t являются линейными функциями от цены р в этот же момент времени, получим следующую систему:

Функция спроса: q_t^D = a₀ + a₁p_t + e_1t, a₁ < 0,

Функция предложения: q_t^S = b₀ + b₁p_t + e_2t, b₁ < 0, (2)

Уравнение равновесия: q_t^D = q_t^S.

Очевидно, что наличие случайных переменных в данных уравнениях связано в первую очередь с отсутствием ряда важных объясняющих переменных (дохода, цен, сопутствующих товаров, вкусов, ожиданий, цены ресурсов, налогов и т. д.). Изменение одного из этих факторов может отразиться на модели. Например, рост дохода потребителей может сдвинуть кривую спроса вверх (рис. 1). Это приведет к изменению равновесной цены и равновесного количества.

р S

p_t+1

p_t

p_t D₂

D₁

0 q_t q_t+1 q

Рис. 1

Модель (2) может быть усовершенствована. Например, если в функцию спроса добавить доход потребителей Y, то получим систему:

Функция спроса: q_t^D = a₀ + a₁p_t + a₂Y_t + e_1t, a₁ < 0,

Функция предложения: q_t^S = b₀ + b₁p_t + e_2t, b₁ < 0, (3)

Уравнение равновесия: q_t^D = q_t^S.

Модель 2. Кейнсианская модель формирования доходов

Простейшая модель такого типа в предположении, что рассматривается закрытая экономика без государственных расходов, выглядит так:

Функция потребления: С_t = b₀ + b₁Y_t + e_t, (4.1)

Макроэкономическое тождество: Y_t = C_t + I_t. (4.2)

Здесь Y_t, C_t, I_t представляют совокупный выпуск, объемы потребления и инвестиций в момент времени t соответственно.

Модель 3. Модели IS – LM

Одной из возможных нестохастических форм модели IS (равновесия на рынке товаров) является следующая модель:

Функция потребления: С_t = b₀ + b₁ Y_(d)t, (5.1)

Функция налогов: Т_t = a₀ + a₁Y_t, (5.2)

Функция инвестиций: I_t = g₀ + g₁r_t, (5.3)

Располагаемый доход: Y_(d)t = Y_t – Т_t, (5.4)

Государственные расходы: G_t = , (5.5)

Макроэкономическое тождество: Y_t = C_t + I_t + G_t. (5.6)

Здесь Y_t, С_t, I_t, G_t, Т_t, Y_(d)t, r_t – значения в момент времени t соответственно национального дохода, потребления, желаемого объема чистых инвестиций, государственных расходов (G_t в данном случае G_t = = const), объема налогов, располагаемого дохода, процентной ставки.

Подставим (5.2) и (5.4) в (5.1).

С_t = b₀ + b₁ Y_(d)t = b₀ + b₁(Y_t – Т_t) = b₀ + b₁Y_t – b₁(a₀ + a₁Y_t) =

= b₀ + b₁(Y_t – a₀ – a₁Y_t) = b₀ + (1 – a₁) b₁Y_t – a₀b₁;

Затем полученное соотношение, а также (5.3) и (5.5) подставим в (5.6). Получим: Y_t = C_t + I_t + G_t = b₀ + (1 – a₁) b₁Y_t – a₀b₁ + g₀ + g₁r_t + ,

или Y_t – (1 – a₁) b₁Y_t = b₀ – a₀b₁ + g₀ + g₁r_t + ,

Итак, имеем:

Y_t = p₀ + p₁ r_t, (6)

где , .

Формула (6) является выражением кривой IS, задающей такое соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором рынок товаров находится в равновесии.

Линия LM (линия равновесия на рынке денег) задает такое соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором спрос на деньги равен их предложению. Одна из нестохастических форм данной модели имеет вид:

Функция спроса на деньги: M_t^D = a + bY_t – cr_t, (7.1)

Функция предложения денег M_t^S = , (7.2)

Условие равновесия: M_t^D = M_t^S. (7.3)

Подставив в (7.1) выражения (7.2) и (7.3), получим:

, (8)

где , .

Соотношение (8) известно как уравнение LM.

Модель IS – LM представлена на рис.2.

R

LM (M= )

IS

0 Y

Рис. 2

Точка пересечения данных кривых определяет соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором оба рынка находятся в состоянии равновесия. Эта точка находится из решения системы уравнений (6) и (8).

Модель 4. Зависимость объема национального дохода от производственных ресурсов: основных производственных фондов, рабочей силы и материальных ресурсов.

Такая модель может быть представлена следующим образом:

X _t = f (F _t, L _t, e _t),

M _t = f (X _t, u _t),

Y _t = X _t – M _t,

где X _t - выпуск продукции; Y _t – валовой внутренний продукт; F _t - основные производственные фонды; L _t – рабочая сила; M _t – материальные ресурсы; t – период времени.

Представим первые два уравнения в аналитическом виде, тогда модель запишется так:
,

M _t = b₀ + b₁X _t + u _t, (9)

Y _t = X _t – M _t,

где а ₀, а ₁ , а ₂, b ₀, b ₁ - параметры модели.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: