Определение и способ решения. Пусть — некоторая функция, — ее производная

Пусть — некоторая функция, — ее производная. Для удобства будем записывать производную виде , имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал — приращение значения переменной в окрестности , стремящееся к нулю. Дифференциал функции — малое приращение функции, . Пусть и — некоторые функции от и . Рассмотрим уравнение

.

Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на :

.

Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от до для левой части и от для для правой части уравнения:

.

Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить .

Значения и называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных — , где — первообразная , — произвольная постоянная, запишем это в виде

.

Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные , удовлетворяющие уравнению . При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).

2.3)

(О существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть - непрерывная функция в области , причем - также непрерывен в . Тогда для любой точки задача Коши: имеет решение, причем единственное в том смысле, что если есть 2 ее решения и , определенные на интервалах и , содержащих точку , то они совпадают на пересечении этих интервалов.

Теорему оставим без доказательства.

Замечание. Говорят, что решение дифференциального уравнения на интервале есть продолжение решения на , если и на . Также говорят, что решение - максимальное или непродолжаемое относительно , если не обладает продолжениями, целиком лежащими в .

На основании этого замечания можно сказать, что при условиях теоремы существует единственное максимальное (непродолжаемое) решение задачи Коши.

Геометрический смысл сформулированной теоремы состоит в следующем. Левая часть уравнения представляет собой - тангенс угла наклона касательной к графику искомой функции в точке , а правая часть задает его численное значение в этой точке. Поэтому можно считать, что уравнение задает поле направлений на области , т.е. к каждой точке прикреплен вектор, указывающий направление касательной к искомой интергальной кривой.

2.3)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: