ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Решение уравнения колебаний струны методом Фурье. Решение уравнений теплопроводности.
Постановка задачи. Найти решение уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям
u = f(x),. = F(x) и краевым условиям u = 0; u = 0. t=0 t=0 x = 0 x =
Струна закреплена.
По методу Фурье или методу разделения переменных решение этого уравнения находят в виде
u(x,t) = ( t + Функции u (x,t) называются собственными функциями. Коэффициенты находят, как коэффициенты ряда Фурье по формулам
.
Окончательная формула имеет вид u(x,t) )cos )sin . (1)
ЗАДАЧА. Струна длины закреплена на концах. В начальный момент времени она оттянута в точке x = на расстояние , а затем отпущена без толчка. Методом Фурье определить отклонение u(x,t) точек струны в любой момент времени. РЕШЕНИЕ. В поставленной задаче имеем дело со свободными колебаниями струны, закреплённой на обоих концах. Её решение сводится к следующей математической задачи. Требуется определить решение уравнения , где a , аТ - натяжение струны, - плотность струны, удовлетворяющее следующим начальным и граничным условиям:
1). Начальные условия . а). u(x,0) = f(x) = - .
y
……………
x
б). = F (x) = 0 (струна была отпущена без толчка, значит начальная скорость её была равна нулю).
2). Граничные условия: u(0,t) = 0, u(. Физически они означают, что в точках x = 0 и x = струна закреплена см. рисунок.
Согласно методу Фурье, решение находят по формуле (1), вычислив коэффициенты, получим решение u(x,t) = sin .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|