Решение уравнения колебаний струны методом Фурье. Решение уравнений теплопроводности.

Постановка задачи. Найти решение уравнения

, удовлетворяющее начальным условиям

u = f(x),. = F(x) и краевым условиям u = 0; u = 0.

t=0 t=0 x = 0 x =

Струна закреплена.

По методу Фурье или методу разделения переменных решение этого уравнения находят в виде

u(x,t) = ( t +

Функции u (x,t) называются собственными функциями. Коэффициенты находят, как коэффициенты ряда Фурье по формулам

.

Окончательная формула имеет вид u(x,t) )cos )sin . (1)

ЗАДАЧА. Струна длины закреплена на концах. В начальный момент времени она оттянута в точке x = на расстояние , а затем отпущена без толчка. Методом Фурье определить отклонение u(x,t) точек струны в любой момент времени.

РЕШЕНИЕ. В поставленной задаче имеем дело со свободными колебаниями струны, закреплённой на обоих концах. Её решение сводится к следующей математической задачи.

Требуется определить решение уравнения , где a , аТ - натяжение струны, - плотность струны, удовлетворяющее следующим начальным и граничным условиям:

1). Начальные условия

.

а). u(x,0) = f(x) =

- .

y

……………

x

б). = F (x) = 0 (струна была отпущена без толчка, значит начальная скорость её была равна нулю).

2). Граничные условия: u(0,t) = 0, u(.

Физически они означают, что в точках x = 0 и x = струна закреплена см. рисунок.

Согласно методу Фурье, решение находят по формуле (1), вычислив коэффициенты, получим решение

u(x,t) = sin .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: