Сравнение бесконечно малых функций

Пусть a(x,b(x) – бесконечно малые ф-ции при х->a

Тогда

1. Lim(x->a) a(x)/b(x)=0 => a(x) – бесконечно малая более высокого порядка, чем b(x)

2. Lim(x->a) a(x)/b(x) =c <>0=> a и b – бесконечно малые функции одного порядка

3. Lim(x->a) a(x)/b(x) = 1 => a u b – эквивалентные бесконечно малые функции

4. Lim(x->a) d(x)/bⁿ(x) = c <>0 => a – бесконечно малая функция н-ного порядка относительно b(x)

Cos2x=1-2sin²x

Теорема: если б.м. а(х) эквивалентна а₁(х) и b(x) ~b₁(x) и lim(x->a)a(x)/b(x) => lim(x->a)a₁(x)/b₁(x)

1. Sin kx ~ kx

2. Tg kx ~kx

3. Arcsin kx ~ kx

4. Arctg kx ~kx

5. E^kx-1 ~ kx

6. A^kx~kx ln a

7. Ln |1+kx|~kx

8. 1-cos kx ~kx²/2

23. Предел функции, теоремы о пределах. Неопределённость вида 0/0.
• Бесконечно большие и бесконечно малые.

Функция f (x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение ä > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству | x − a | < ä имеет место неравенство | f (x)| > M.

lim _{x → a} =∞

• Функция ограниченная при x → a.

• Функция ограниченная при x → ∞.

• Теорема. Если lim _{x → a} f (x)= b, то функция f (x) ограниченная при x → a.

• Бесконечно малые и их свойства. lim _{x → a} á(x)=0

Теорема. 1. Если f (x)= b +á, где á - б.м. при x → a, то lim _{x → a} f (x)= b и обратно, если lim _{x → a} f (x)= b, то можно записать f (x)= b +á(x).

Теорема. 2. Если lim _{x → a} á(x)=0 и á(x) ≠ 0, то 1/á→ ∞.

Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.

• Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u (x) ≤ z (x) ≤ v (x), и lim _{x → a} u (x)=lim _{x → a} v (x)= b, то lim _{x → a} z (x)= b. ("Теорема о двух милиционерах").

• Первый замечательный предел.

• Второй замечательный предел.

Переменная величина

при n → ∞ имеет предел, заключенный между 2 и 3.

В данной работе мы рассмотрим неопределенность вида для функции . Для нахождения предела функции мы применяем метод преобразования, метод замены и определение бесконечно малых величин.

Пусть требуется найти предел дроби

(1)

где P(x) и Q(x) функции определенные в окрестности предельного аргумента a, но в самом предельном значении обращаются в ноль.

Теорема 1. Пусть число a для многочлена n-й степени P(x) = P_n(x) является k кратным решением, а для многочлена m-й степени Q(x) = Q_n(x) является r кратным решением, тогда

(2)

где P_n-k(a) и Q_m-r(a) значения соответствующих многочленов P_n-k(x) и Q_m-r(x) в точке x = a.

Доказательство. Так как, число a является решением многочленов P_n(x) и Q_m(x), то их в любое время можно представить в виде:

Тогда

(3)

Биномы (x - a)^k и (x - a)^r в окрестности точки x = a бесконечно малы, а их основания эквивалентные бесконечно малые.
Отсюда

Полагаясь на последнее равенство, можно из (3) предела получить формулу (2).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: